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料推荐伯努利不等式 ：设 x-1, 且 x 0,n是不小于 2 的整数 ,则(1+x) n 1+nx.证明 :先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：当 n=1, 上个式子成立 ,设对 n-1, 有:(1+x) n-1 1+(n-1)x成立 ,则(1+x) n=(1+x) n-1 (1+x)1+(n-1)x(1+x)=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2 -x 21+nx就是对一切的自然数 ,当x-1, 有(1+x) n 1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若 r0或 r 1 ，(1+x)有 r 1 + rx若 0 r 1(1+x)，有r 1 + rx这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：如果 r=0 ，1，则结论是显然的1 料推荐如果 r 0 ，1，作辅助函数 f(x)=(1+x) r -(1+rx), 那么 f(x)=r*(1+x) r-1 -r, 则 f(x)=0 ? x=0;下面分情况讨论：1. 0 r 0 ，f(x) 0 ；对于 - 1 x 0。严格递增，因此f(x) 在 x = 0 处取最大值 0，故得 (1+x) r 1+rx。2. r 1 ，则对于 x 0 ，f(x) 0 ；对于 - 1 x 0 ， f(x) 0 。严格递减，因此 f(x) 在 x = 0 处取最小值 0，故得 (1+x) r 1+rx命题得证2