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1、旋转专题 45角绕 90角旋转教 学 实 录哈尔滨市阿城区双丰中学：王朝辉上课，老师好！同学们好，请坐。师: 同学们，我们刚刚学习了图形的旋转，请大家思考一下，旋转的概念是什么？生: 在平面上，把一个图形绕着某一点旋转某一角度，图形的这种变换叫做图形的旋转。师: 旋转有哪些性质呢？生 :1 ，旋转前后的两个图形是全等形2，对应点到旋转中心的距离相等。3 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。首先我们来热身一下：1. 课前小测试：1. 将 ABC绕点 A按逆时针方向旋转 40到 ABC 的位置 , 连接 CC,若 CCAB,则 BAC的大小是 ( )A55B 60C65D 702. 如图，将
2、 ABC绕着点 A 逆时针旋转 80后得到 AB C ，点 B 的对应点是 B ，点 C的对应点是 C, 连接 BB，若B BC=20，则 BBC的度数是（）BA 82 B80 C 78 D 76 CCBA3. 如图，在 RtABC中，ACB=90，A=40，以直角顶点 C 为旋转中心，将 ABC逆时针旋转到 ABC的位置，其中 A 、B 分别是点A、B 的对应点，且点B 在斜边 AB 上，直角边 CA交 AB于点 D，则旋转角 ACA的度数为（A60B70）C80D85ABDBCA同学们，旋转和前面学习的平移、 轴对称等都是几何中的一种基本的图形变换，它是将已知图形（或其中的一部分）绕某点旋
3、转，构造出新的图形，利用全等，勾股定理等知识来找到解决问题的途径。下面我们来探究第一个题目：2、典型例题分析：例 1：已知正方形 ABCD,点 M在直线 BC上，点 N 在直线 CD上， MAN=45，现将 MAN绕点 A 旋转。(1) 如图 1，点 M在 BC上，点 N在 CD上，求证： BM+DN=MN。(2) 变式：如图 2，点 M在射线 BC上，点 N 在射线 CD上，线段BM、DN、MN之间有怎样的关系呢 ?你能说明理由吗？(3) 变式：如图 3，点 M在射线 CB上，点 N 在射线 DC上，线段BM、DN、MN之间的数量关系又是怎样的呢？ADADNADNMNBCNBMCBCM师引导
4、学生分析：要证明BM+DN=MN，应该考虑什么呢？生 1：需要把 BM、DN转化到一条直线上解决问题。为此我们需要延长 CB到点 N，使 B N =BN，连接 A N ，证明全等。生 2 ，利用旋转将 AND绕着点 A 顺时针旋转 90得到 ABN，然后再证明全等即可。ADNDCB M师：里两位同学的方法都很好，我们能够看出，学习了旋转。又为我们解决问题提供了便利的方法，很值得采纳。 那么哪位同学能告诉我这里用旋转解决问题的根据是什么呢？生：因为是正方形，所以有AB=AD，而且有 90角。师：说的很好。那么哪位同学能把第二种方法的证明过程叙述出来呢？生 3：证明：将 AND绕点 A顺时针旋转
5、90得到 ABN由旋转的性质可得 DAN=BAN，AN=AN BAD=90，MAN=45，DAN+BAM=45， BAN+BAM=45，即 NAM=MAN，又 AM=AM ANM ANM(SAS)MN=MN， BN+BM=MNDN+BM=MN.NADNBCM下面我们来看第二问：当MAN进行旋转时，结论会发生什么样的变化呢？同学们可以进行讨论一下，再下结论。生 1：我认为应该有 BM=MN+DN。大家一直认同。师：那么怎么证明呢？生 2 ：我认为在 BM上截取 BN=BN，连接 AN, 先证明 ANBANB(SAS)导出 AN=AN，BN=DN，BAN=DAN, 然后再证明 ANM ANM(SA
6、S)得出 MN=MN，从而得证。这个方法很好，那么能不能也用旋转的知识证明呢？生 3：能。就是将 AND绕点 A顺时针旋转 90得到 ABN由旋转的性质可得 DAN=BAN，AN=AN BAD=90，MAN=45， DAN+ BAM=45， BAN+BAM=45，即 NAM=MAN，又 AM=AM ANM ANM(SAS) MN=MN， BM- BN=MNBM- DN =MN.师：同学们表现的不错，那么第三问应该没有什么障碍了吧，再给大家两分钟时间解决一下。生 4：用旋转解决，仍然是旋转的方法。就是将 AND绕点 A 顺时针旋转 90得到 ABN，剩下的还是证明全等就和前两问的方法一样了。AD
7、MBCNN师：下面我们归纳一下， 什么样的问题需要用旋转的方法来解决问题呢？生 1：正方形的问题可以用旋转法来解决。师：能具体说一下吗？生 2：因为正方形四边都相等，四个角都是 90，这时可以绕正方形的一个顶点旋转 90，构造全等三角形。师：总结的很好，看来同学们已经掌握了解题的规律。下面我们再来看一个题目：例 2：: 已知 RtABC中， AB=AC,BAC=90, 点 M、N在直线 BC上，MAN=45，现将 MAN进行旋转。(1)222如图 1，当点 M、N在 BC上时，求证： BM+CN=MN(2)如图 2，当点 M在 CB的延长线上，点 N在 CB上时，则线段 BM、CN、MN之间的
8、数量关系是怎样的呢？并说明理由。(3) 如图 3，当点 M在 BC上，点 N在 BC的延长线上时，则线段BM、CN、MN之间又有怎样的数量关系？AAAMBNCBMCNBMNC这个图形不是正方形了， 又怎么解决呢？我们来看一下题目，求证的222结论是 BM+CN=MN，看到这个结论，我们会想到什么呢？生：想到勾股定理。师：用勾股定理解决问题， 这三边应该在同一个三角形中，而且应该是直角三角形， 而求证的这三条边却在一条直线上， 所以我们应该怎么做呢？生：应该把他们转化到一个三角形中来。师：很好，同学们按照这个思路来理解，思考一下应该怎么办？小组讨论一下。（学生讨论，教师巡视指导）生 1：我有办法
9、了，将 ABM绕着点 A 逆时针旋转 90，得到 ACM如、图所示，连接 MN，因为旋转，所以 ABM ACM, 所以 AM=AM，BM=CM B= ACM =45 , 所以 BCM=90 ，在 Rt NCM 中A222MCN+CM=NM, 又因为 BAC= MAM=90而 MAN=45BMNC所以 MAN=45，即 MAN=MAN，又 AN=AN，所以ANM ANM(SAS)，所以 MN=M，从而得出结论222BM+CN=MN师：证明的非常好。能看出同学们真的理解了旋转的含义。那么我们再看第二问。生 2：我知道了，还是用旋转法，还是将将ABM绕着点 A 逆时针旋A转 90，得到 ACM如图所
10、示，MNCBM、连接 MN，因为旋转，所以 ABM ACM, 所以 AM=AM，BM=CMABM=ACM=135 , 所以 BCM=90，在222RtNCM 中 CN+CM=NM, 又因为 BAC=MAM=90而 MAN=45所以 MAN=45，即 MAN= MAN，又 AN=AN，所以 ANM ANM(SAS)，所以 MN=M，从而得出222结论 BM+CN=MN。师：很好。那么这里的第三问我们能非常轻松的解决了。谁能不能直接把结论说出来呢？生 3：结论和前面两问的结论是一样的，222BM+CN=MN。MABMCN师：通过刚才两个问题的剖析，我们对于旋转是不是有更深刻的理解呢？谁能不能再总结
11、一下利用旋转解决问题的特点是什么呢？什么样的问题适合用旋转法解决呢？生 4：我发现不但正方形可以旋转的方法解决，而且等腰之间三角形也可以用旋转来解决。师：你的发现是很正确的。 下面我们来总结一下，旋转变换应用时常见的有以下三种情况： 1、旋转 90角。当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转 90.2 、还可以旋转 60角。当题目条件中有等边三角形时， 我们也可以将图形绕等边三角形的一个顶点旋转 603、旋转度数等于等腰三角形的顶角度数。当题目条件中有等腰三角形时， 常将图形绕着等腰三角形的顶角的顶点旋转顶角的度数。巩固练习： 3. 已知正方形 ABCD中，点 M、N分别
12、在直线 BC和直线 CD上， MAN=45，现将 MAN绕点 A旋转，过点 D 做 DPAN交直线 AM于点 P，连接 PC。(1) 如图 1，当点 M在 BC上，点 N在 CD上时，求证： PA+PC=2PD。(2) 如图 2，当点 M在 BC的延长线，点 N在 CD的延长线上时，则线段 PA、PC、PD之间有怎样的数量关系，并说明理由。(3) 如图 3，当点 M在 CB的延长线，点 N在 DC的延长线上时，则线段 PA、PC、PD之间的数量关系是。AADNDADNPPCB MPCMBBCMN图 1图2图3师引导学生分组讨论， 讨论后鼓励选手前面讲解。 教师巡视并参与其中。巡视中强调， 这里
13、同学们注意要旋转哪个三角形呢？要注意关键条件 1、45；2、2PD怎么找，把这两个问题解决出来，其他的就容易解决了。学生相互讨论，最后得出了答案小结：本节课我们学习了与旋转有关的一个专题， 问题的出发点有点难，但是只要掌握了方法，抓住问题的本质，我们就可以化难为易。比如我们这节课学习的专题中， 主要讨论了什么样的问题适合用旋转的方法来解决呢？生分别总结，师加以强调。1、旋转 90角。当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90.2 、还可以旋转 60角。当题目条件中有等边三角形时，我们也可以将图形绕等边三角形的一个顶点旋转 603、旋转度数等于等腰三角形的顶角度数。当题目条件中有等腰三角形时， 常将图形绕着等腰三角形的顶角的顶点旋转顶角的度数。