晶体的宏观对称 点群 对称型.ppt

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1、第二章 晶体的宏观对称,对称的概念 晶体对称的特点 对称要素和对称操作 晶体的对称定律 对称要素的组合 点群和对称型的概念及其推导 晶体的分类 对称型的国际符号和圣佛利斯符号,2.5 对称要素的组合,晶体学,任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将产生新的对称要素，且产生的个数一定。,立方体上 3L44L36L29PC,L66L27PC（绿柱石）,四、对称要素的组合,从上面的结果可以看出什么规律？ 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律； 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。,晶体学,定理1：Ln P/ LnnP/（P与P夹角为Ln基转角的一半） 逆定理：两个P相交，其交线必为

2、一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。 思考: 两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴?,对称要素组合定理：,晶体学,对称要素的组合,晶体学,对称要素组合定理：,定理2：LnL2LnnL2 （相邻L2的夹角是Ln基转角的一半） 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2,晶体学,思考: 两个L2相交30,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?,对称要素的组合,晶体学,定理3：Ln P LnP C （n为偶数） 逆定理： Ln

3、C LnP C （n为偶数） P C LnP C （n为偶数） 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个可以产生第三者。,对称要素组合定理：,晶体学,正长石： L2+P = L2 PC。,定理4： Lin L2 = Lin P/ Lin n/2 L2 n/2 P/ （n为偶数） Linn L2 nP/（n为奇数） 逆定理：如有一L2与一P斜交，P的法线与L2的交角为，则平行P且垂直于L2的直线必为一n次旋转反伸轴Lni，n360/2。,对称要素的组合,晶体学,例：四方四面体 Li42L2 2P,黄铜矿 Li4+ L2(或P/) = Li4 2L22P,五、32个对称型及其推导,晶体形态中，全部对

4、称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。 为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？,晶体学,1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对称要素组合规律LnL2LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=

5、3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类了。,1. A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合规律Ln（偶次）PLn（偶次）PC，则可能的对称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规律Ln PLnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。,A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直Ln的P与包含

6、Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2（n + 1）P（C）（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为：（L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC;（L33L24P=Li63L23P）; L44L25PC; L66L27PC。,A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li

7、33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。,A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,多个高次轴的组合。1 原始式：四面体的对称轴 3L24L32 中心式：原始式与对称中心组合3L24L33PC3 轴式：原始式与对称轴的组合3L44L36L24 面式：原始式与对称面的组合3Li44L36P5 轴面式：轴式的基础上加对称面 3L44L36L29PC,2. B类对称型（高次轴多于一个）,晶体学,5个B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。,这样推导出来的对称型共有

8、32个，见下表。,晶体学,晶族（crystal category）的划分 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族 高级晶族（higher category） 中级晶族（intermediate category） 低级晶族（lower category）,问题: 什么是高次轴? 最多有多少高次轴?,晶体学,六、晶体的对称分类及点群符号,1、晶族、晶系、晶类的划分,晶体的对称分类,晶系（crystal system）的划分 根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族 等轴晶系（isometric system）, 又称立方晶系（cubic

9、system） 六方晶系（hexagonal system） 四方晶系（tetragonal system） 三方晶系（trigonal system） 斜方晶系（orthorhombic system）, 亦称正交晶系 单斜晶系（monoclinic system） 三斜晶系（triclinic system）,晶体学,晶体的对称分类,表32 - the below and next page,晶体学,2. 对称型的国际符号,对称型的国际符号很简明，国际符号既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位。有以下几个特点： 它不将所有的对称要素都写出来； 并且可以表示出对称要素的方向性； 但它

10、不容易看懂。 注：在国际符号中有13个序位，每一序位中的一个对称要素符号可代表一定方向的、可以互相派生（或复制）的多个对称要素，即凡是相同的对称要素和可以推导（派生）出来的对称要素都省略了。 对称轴以 1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示（由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C）。,晶体学,由于1=Li1=C，2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心。m代表2。 所谓的相同对称要素，并不仅仅指同种对称要素，而且必须是能够借

11、助于对称型中其他对称要素的变换作用而相互重复的同种对称要素。 例如：3m（L33P）对称型中的三个P全部是相同对称要素；但在4/mmm（L44L25PC）对称型中，垂直于L4的P与其它4P都不相同，而且剩下的4个P之中，只有相互垂直的两个P才构成一组相同对称要素，而以45交角相邻的任二P都不是相同的对称要素。,晶体学,具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了具体方向上(a,b,c,a+b,a+b+c,2a+b)的对称要素，对称意义完全相同方向上的对称要素，不管有多少,只写一个就行了。 不同晶系中，这三个序号位所代表的方向完全不同，所以，不同晶系的国际符号的写法也就完全不

12、同，一定不要弄混淆。 每个晶系的国际符号写法见表3-3(此表很重要，要熟记！）,对称型的国际符号,晶体学,点群的国际符号各个序位的方向,晶体学,符号顺序：依不同晶系的规定排列 符号位数：不超过三个 符号表示：每个位分别表示晶体该方向上所存在的全部对称要素。 即： 对称轴或旋转反伸轴 垂直的对称面 当这两类对称要素在同一方向上同时存在时，则写成分式的形式，例如：4/m；不存在对称要素时，则将该位空着。,对称型国际符号的书写,晶体学,举例： L2PC的国际符号的写法 L2PC属于单斜晶系，只一个序位，代表方向b； 第1方向（Y轴）上的对称要素，一个L2和垂直的对称面P，写 成2m。 第二、第三位空

13、着。 在此符号中没有写出c，它可根据组合定理推导出来。,举例：L44L25PC的国际符号的写法 L44L25PC四方晶系，国际符号三个位的方向：c、a、（a+b）。 第I方向（Z轴）c：L4（4）和垂直L4对称面P（m），写做4/m； 第方向（X轴） a：一个L2（2）和垂直的对称面P（m），写做2/m； 第位（X轴与Y轴的角平分线）（a+b）：一个L2（2）和垂直的对称面P（m），写做2/m。 将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m。其余的没有直接写出来，但根据组合定理可由符号中写出的对称要素推导出来。实际上简化成4/mmm仍然可以导出对称型的全部对称要素。所以，L44L25PC的国

14、际符号通常都写成4/mmm。,对称型国际符号的书写,晶体学,晶体学,晶体学,晶体学,晶体学,晶体学,点群国际符号应用和举例,1. 根据国际符号判断所属晶系 低级晶族对称特点判断：无2无m者为三斜晶系；2 或m不多于1者为单斜晶系；2或m，多于1者为斜方晶 系。 国际符号中有一个高次轴时，首位符号确定晶系。 如首位是4或- 4者为四方晶系； 国际符号中第二位是3或-3者为等轴晶系。,晶体学,2. 由国际符号写出点群（对称型） 首先确定所属晶系； 明确三个序位所代表方向上的对称要素； 运用组合定理推导出全部的对称要素，之后组合成点群。 例如：6mmm 首位6为六方晶系。国际符号的三个位c、a、（2

15、a+b）。 第I方向c，z轴，有L6和垂直L6的P，新产生对称中心C； 第II方向a，x轴，有包含L6的P；所以L66P，包含L6的P（第方向）与垂直L6的P（第1方向上）的交线，为垂直L6的L2，所以6L2； 第方向上的P平行L6，与第II方向上重复，推导完毕。 最后，将原有的、新产生的对称要素组合在一起，便得到对称型L66L27PC。,晶体学,3. 对称型的圣弗利斯符号,对称型的圣弗利斯符号，是根据对称要素组合的几种基本规律，用不同字母来表示对称型中对称要素的基本组合而写出的。现分别加以说明。 Cn表示Ln单独存在，如L1、L2、L3、 L4、L6分 别以Cl，C2、C3、C4、C6表示。

16、 Cnh表示LnP=LnP（C）。如P、L2PC、 L3P(Li6)、 L4PC、 L6PC分别以Clh、C2h、C3h、 C4h、 C6h表示。,晶体学,Cnv表示LnP=LnnP ，如 L22P、 L33P、L44P、L66P分别以C2v、C3v、C4v、 C6v表示。 Dn表示LnL2= LnnL2，如L22 L2 （3L2）、L3 3 L2 、L44 L2、 L66L2分别以D2、D3、D4、D6表示。 Dnh表示LnL2P= LnnL2（n+1）P（C），如3L23PC、L3 3L24P（Li63L23P）、L44L25PC、 L66L27PC分别以D2h、D3h、D4h、 D6h表

17、示。 Dnd表示对称面不包含L2，而是处于平分L2的夹角的位置上，如Li42L22P、L33L23PC分别以D2d、D3d表示。,对称型的圣弗利斯符号,晶体学,i表示反伸，如Ci表示一次旋转反伸轴等于对称中心C，C3i表示三次旋转反仲轴Li3，等于L3C。 S表示反映，如Cs代表Ls1=P=Clh；Ls2=C=Ci。S4代表Ls4 =Li4，S6代表Ls6=L3C 此外，D2又以V表示，即V= D2、Vh= D2h、Vd=D2d。,对称型的圣弗利斯符号,晶体学,T表示四面体中对称轴的组合3 L24 L3。 Th表示3L24L3中加入了水平对称面获得3L24L33PC。 Td表示3L24L3中加入了对角线方向（平分L2夹角的方 向）的对称面获得3Li44L36P。 O表示八面体中对称轴的组合3L44L36 L2。 Oh表示3L44L36 L2中加入了水平对称面获得： 3L44L36L29PC。,对称型的圣弗利斯符号,晶体学,本章重点总结： 1）对称要素：P, Ln, C, Lin； 2）对称要素组合：4个定理； 3）对称型：要学会用组合定理判断正确与否； 4）晶体的对称分类：3个晶族，7个晶系，32个晶类； 5）对称型的国际符号和圣佛利斯符号。,