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1、高阶行列式的解法 行列式的解法 导读：就爱阅读网友为您分享以下“行列式的解法”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!第1页行列式的解法摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式。Determinant solutionsAbstract: This article enumerates several calculation methods of deteminants . such as .turning into triangle .extracting publicly own
2、ed multiplier and so on .At the same time .it points out the service conditions of these kinds of methods .Key words: determination . triangulaire determination . vandermonde determination一、 定义法 a11a21Ma12a22Man2KLa1na2nM n介行列式 (1)的值等于所有取an1Lann自不同行不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2Lanjn (2)的代数和,这里j1j2Ljn是1,2,L,n
3、的一个排列,每一项(2)都是按下列规则带有符号:当j1j2Ljn是偶排列时, (2)带有正号,当j1j2Ljn是奇排列时,(2)带有负号.这一定义可以写成a11a21Man1a12a22Man2KLa1na2nMann=j1j2Ljn(-1)t(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn,这里Lj1j2Ljn表示对所有n级排列求和.2例 1. 计算解:原式36的值. 31第2页=26-33 =3 但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对2级3级的行列式采用。而对与高阶行列式中0元素较多的行列式则可以采用.因行列式的项a1j1a2j2Lanjn中有一因数为零时，该项的值
4、为零，故只需求出全部为非零乘积的a1j1a2j2Lanjn项相加即可。通常是从行列式的一般项行入手，将行标按自然数排列，讨论列标j1j2Ljn的所有可能的非零取值，并且要注意每一项a1j1a2j2Lanjn的符号。 例 2. 计算12345阶行列式 0000L00LLLLL02L0010L0000L012345A12345=L0 解:有定义法知:只需求出A中所有的非零项相加即可。D中的第一行的非零元素只有j2=12L34j132=34a1,1，因而j1=12344，j4=1j11j2L2jn3在可能取的数值中，45j1j2Ljn于是1只能组成一个12345个元素的排列：12344 12343
5、2 1 12345 .而此排列的逆序数为t=n(n-1)2=123442t12343为偶数，故A=(-1)a1,2008a2,2007La2008,1a2009,2009=(-1) 二、 升阶法(12344212343)123L123441345=12345!在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 2第3页计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（
6、列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。c+a12a1a2c+a2Lana2ana1anLc+an2LLLL1a1ana2anLc+an2例1计算n阶行列式 Dn=a2a1Lana12，其中c010a1c+a1a2a1Lana12a2a1a2c+a2Lana22LLLLLa1c0L0a20cL0LLLLLan00 Lc-a1L-an解 Dn=0 a2an=-a2将最后一个行列式的第j列的c-1aj-1倍加到第一列（j=2,3Ln+1)，就可-1n以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+cn+1nai=12i,c,c,L,c
7、 故 Dn=c+cna2ii=1 1x121x2x2Lx2n-2n2LLLLLL1xnxnxn2例2 计算n阶行列式Dn=x1Lx1n-2nLn-2n x1x2xn解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令1x1x1x121x2x2x22LLLLLLL1xnxnxn21yy2Dn=Ln-2n-1nLn-2n-1nLn-2n-1nLyyn-2n-1n x1x2xnx1x2xny3第4页按第n+1列展开，则得到一个关于y的多项式，yn-1的系数为n(-1)n+1+nDn=-Dn。另一方面Dn+1=1jin(xi-xj)*(y-xi)i=1显然，Dn+1中yn-1的系数为n(x1
8、jini-xj)-(x1+x2+L+xn)所以Dn=xi=1i*(x1jini-xj)三、降阶法（按行按列展开）利用行列式的性质对行列式中存在某行（列）0元素较多的行列式进行行(列)展开.容易留下少些非0部分将行列式降阶一般也只对非特殊阶数不高的行列式计算如下.亦可利用降阶定理对高阶的行列式求值. 例5 计算行列式12-10112134131010D=解：0D=0102-10102131131-3-1201=-1211312010 =0=-32-1323=-7降阶定理:设ACBD是方阵,且A可逆,则ACBD=AD-CAB-1 证明:E1Q-1-CAE1-CA-1 0AE2C0ABDE2C=BA
9、=D0A0B-1D-CAB-1B D-CAB 4第5页1cbbdLLLbdd其中(ld) MldMd例 6. 计算cMclMdLldLLdcdc-(-1)-1(bMclcLLd-cbd-cbML,然后从第2列起,后面的每一列ld解: 原式= MdlMdbbb)Ll-cbd-cb=d-cbMd-cbl-cbMd-cbl-cb依次减d-l去第d-l0一LLL列d-l00M,可得: 原式l-cbd-cbl-d0M0=d-cbMd-cbl-dM0 Ll-d l+(n-2)d-(n-1)cb LL00MLd-cbMd-cb=l-dM0 l-d =(l-d)n-1l+(n-2)d-(n-1)cb四、利用递
10、推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。abaLcLLLLbbLacLc例3计算n阶行列式 Dn=，其中bc,bc0 解 将Dn的第一行视为(a-c)+c,0+c,L0+c,据行列式的性质，得5第6页a-c+cbaLcLLLLbbLa=a-c0L0baLcLLLLbbLa+cccbaLcLLLLbbLaDn=0+cL0+c Dn=(a-c)Dn-1+c(a-b)n-1 (1)于b与c的对称性，不难得到Dn=(a-b)Dn-1+b(a-c)n-1 (2)联立（1），(2）解之，得Dn=(b-c)-1b(a-
11、c)n-c(a-b)na+b1aba+b1L000aba+bL00LLLLLL000La+b0000Laba+b例4计算n阶行列式 Dn=0L00 10aba+bL00LLLLL00La+b100Laba+b解将Dn按第一行展开，得Dn=(a+b)Dn-1-ab00 于是得到一个递推关系式Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2，变形得Dn-bDn-1=a(Dn-1-bDn-1)易知 Dn-bDn-1=a2(Dn-2-bDn-3)=a3(Dn-3-bDn-4)=L=an-2(D2-bD1)=an-2(a+b)2-ab-b(a+b)=an 所以Dn=an+bDn-1，据此关系式在递推，有Dn=an
12、+b(an-1+bDn-2)=an+an-1b+bDn-22 =L=an+an-1b+L+a2bn-2+bn-1D1=an+an-1b+L+abn-1+bn如果我们将Dn的第一列元素看作a+b,1+0,0+0,按第一列坼成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式Dn=an+bDn-1，同样可得Dn的值。 6第7页 五、化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号 20