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1、基于VaR方法的长寿风险自然对冲模型第26卷第2期 V0L 26 No2 统 计 与 信 息 论 坛 Statistics& Information Forum 2011年 2月 Feb，2011 【统计应用研究】 基于 VaR方法的长寿风险自然对冲模型 黄顺林 ，王晓军 (1南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210046；2中国人民大学 统计学院，北京 100872) 摘要：随着死亡率的下降与预期寿命的提高，保险公司面对着不容忽视的长寿风险。基于 VaR方法探讨 了长寿风险管理中的自然对冲策略，然后在对中国男性人 口死亡率预测的基础上，给出了保险公司自然对冲 长寿风险所需的最优
2、产品结构，并进一步考查了利率、签单年龄、缴费方式等因素对最优产品结构的影响。 关键词：长寿风险；自然对冲；死亡率模型 中图分类号：F2223 文献标志码：A 文章编号：1O。73116(2011 JO2一OO48一O4 一、 引 言 随着社会经济的发展、生物和医疗技术的进步 以及人们健康意识的提高，人口死亡率不断降低，寿 命不断延长，从而给养老金体系带来支付压力。而 死亡率在未来长期内不确定的下降趋势，即长寿风 险，使经营养老业务的保险公司面临负债风险_1j。 为了应对长寿风险，中国保险公司大多停售了传统 的终身年金，一般采取将年金领取限定在 8O岁以内 的简单做法，从而很难为人们提供终身的养
3、老安排。 对长寿风险的管理，国外已有不少理论研究和 实践经验，其中通过再保险或通过成熟的资本市场 实现长寿风险资本化或证券化已成为长寿风险的研 究热点。如Milevsk和Promislow研究年金产品的 套期保值问题2。Blake等研究了包括再保险、延 迟退休年龄、长寿风险证券化等长寿风险管理方 法33。Dowd等研究了生存互换的设计与定价 。 在实务中，一些新的与死亡率相关的金融产品已经 被保险公司或资本市场推出，如长寿(或生存)债券、 长寿(或生存)互换、死亡率远期合同等_5。 在中国，由于资本市场尚不完善，金融衍生工具 的品种相对较少，很难在近期内寻求长寿风险的资 48 本市场解决方案，
4、而由于保险公司经营的寿险产品 和养老年金产品的负债对死亡率变化呈反向变动， 从而可以运用自然对冲策略(natural hedging strat egy)实现对长寿风险的管理，即通过对寿险产品和 养老年金产品销售结构的组合对冲长寿风险。Cox 和Lin指出，利用寿险产品与年金产品对死亡率改 变的交互影响可以自然对冲长寿风险【6。Wang等 提出了基于死亡率久期与凸性的免疫模型，在 Lee - Carter死亡率模型的基础上，利用模型计算了规 避长寿风险的寿险产品与年金产品的最优比例7。 Jeffrey等在 CBD两因素随机死亡率模型基础上， 采用使损失相对变化率的 CV 值最小来决定最 优产品
5、销售结构8。 相对于长寿风险的资本市场解决方案，基于保 险公司内部的长寿风险自然对冲可以有效地节约交 易成本，也不需要流动性市场和中间商，从而对中国 保险公司应对长寿风险具有重要的实践意义。本文 将基于VaR风险度量工具，探讨中国保险公司的长 寿风险自然对冲策略。不同于 Wang和 Jeffrey等 研究中都事先选定了随机死亡率模型，我们是在拟 合更优的基础上选择中国男性人口死亡率预测模型 的，从而减少了模型选择风险9。考虑到 Jeffrey等 收稿日期：2O1O一1OO9；修复日期：2O1O一1028 基金项目：国家自然科学基金项目抽象经济均衡问题的相关研究(11071109)；南京邮电大学
6、校科研基金项目寿险产品 中的长寿风险评估与管理研究(NY210057)。 作者简介：黄顺林，男，安徽舒城人，讲师，博士生，中国准精算师，研究方向：养老金精算、风险管理。 王晓军，女 ，山西定襄人 ，教授，博士生导师，研究方向：保险精算、社会保障、养老金。 黄顺林，王晓军 ：基于 VaR方法的长寿风险自然对冲模型 根据损失相对变化率来决定保险产品的结构，可能 仍然会给保险公司带来绝对损失，我们直接以总损 失的VaR为目标，决定最优的产品结构。最后考查 利率、签单年龄、缴费方式等因素对最优产品结构的 影响，从而为保险公司应对长寿风险提供建议。 二、基于 VaR方法的长寿风险 自然对冲模型 保险公司
7、经营保险产品面临的损失是未来赔 付和费用等支出现值与未来保费收人现值之差。在 考察长寿风险对损失的影响时，可以忽略费用等支 出，从而保险公司面临的损失成为未来赔付现值与 未来净保费现值之差。如果以 与 表示寿险产 品与年金保险产品的未来赔付现值， 与P。表示 寿险产品与年金产品的净保费， 与L 为经营寿险 产品与年金产品面临的损失，则有：L 一 一Pf， 一 一 P口。 如果未来死亡率保持定价时假设的水平，这时 两种产品未来损失的期望值为零，即：E(L )一 0， E(L )一0，保险产品的净保费也正是在这一平衡原 理下计算的。而如果未来死亡率发生变动，未来损失 的期望值就可能不为零。 为了研
8、究寿险和年金产品的组合对长寿风险的 对冲，假设保险公司只销售寿险和年金两种产品，并 且其比例分别为 、 ，满足 + 一1。记保险公 司的总损失为L，则 L一 L + L。通过两种产 品的合理组合，可以在死亡率变动下实现总损失为 零的目标，从而有效地对冲长寿风险对保险公司的 影响。 这里，我们借用金融领域广泛应用的风险价值 (V )来度量总损失的未来风险，并在某一置信水 平 a下，计算使总损失的 VaR小于等于零所对应的 寿险产品的最小份额，即： min I VaR(L) 0) f +乞c严一 1 t l 0 1；0 1 首先根据建立的死亡率模型随机模拟产生大量 的未来死亡率水平，从而得到 与
9、的相应分布， 然后得到总损失 L的分布，再计算使总损失 L在给 定置信水平a下的VaR值小于等于零所需的寿险产 品的最小份额 。 三、中国人 口死亡率预测 生命表是寿险公司进行费率厘定与准备金计提 的基础，所以死亡率的估计与建模一直是精算研究 的重要问题。相比以前的只考虑与年龄相关的确定 性死亡率模型，近二三十年来，随机死亡率模型的研 究得到很快的发展。随机死亡率模型不仅考虑死亡 率与年龄的关系，还考虑了死亡率随时间变化的趋 势，以及出生年可能对死亡率的影响，因而随机死亡 率模型更接近实际，预测的准确性更高，得到了广泛 的应用 。 Renshaw和 Haberman在考虑出生年效应后对 Lee
10、Carter模型进行了扩展，提出了 APC(age periodcohort)模型： Poisson(e,m) ln(m)一 口 + f+ h 其中 为年龄27的人在日历年t的死亡人数，假定 服从Poisson分布；g 为年龄z、日历年t的人口死亡 风险暴露数； 为中心死亡率；口一 和 为依 赖于年龄z的参数；杨反映了死亡率随日历年变动 的趋势；一 表示出生年的影响 n。 基于中国国家统计局公布的 19942008年连 续 15年的中国男性人口0 90岁分年龄死亡率数 据，利用极大似然法，可以得到APC模型的参数估 计，并对于参数估计值 、； 序列，运用ARIMA模 型拟合，根据拟合残差的 Q
11、统计量和序列相关的 LM 检验结果 ，得出 ARIMA(O，1，O)和 ARIMA(1， 1，2)模型的拟合效果最好L1引。结果为： 畅 一 一 0419+ Ke-1+ f (O155) (1+ 0936L)(c 一 c 1) (0036) 一 (1 0362L+ 0621L0) (0080) (O078) 各式下面括号内的数为渐进标准误差，L是滞 后算子。这样就可以预测出参数 、c 未来 日历年 的值，进而预测出未来的死亡率水平。 四、商业年金实现自然对冲的 最优产品组合实例 假设某寿险产品是对3O岁男性的保额为 10万 元的终身寿险，年金产品是对 40岁男性延期 2O年 的每年支付 1万元
12、的终身年金，如果这两个产品的 保险公司是按中国人寿保险业经验生命表(2000 2003)的死亡率计算纯保费的，但鉴于人寿保险业经验数据的可得 性，只能得到中国死亡率数据的连续样本，故死亡率模型按中国人口死亡率数据建立。 49 统计与信息论坛 保费均为一次性趸交，并且假设利率恒为 4 。依据 保险精算原理，1单位元终身寿险与延期终身年金 的净保费及未来负债的计算公式为： P 一E P ， q ， 抖 ；P=E P 一 E q 啪， ； ： p 其中h为延期时间， 为折现率， P 表示在不考虑死 亡率的未来变动趋势下z岁的投保人在z+正岁仍 生存的概率，即IP 一户 户计1f?户卅 lIf。 P
13、表 示在考虑死亡率未来不确定性变化下z岁的投保人 在 + 是 岁 仍 生 存 的 概 率， 即 户 =夕 ，l 井1，件1? 一1， 一1。 根 据 中 国 人 寿 保 险 业 经 验 生 命 表 (2000-2003)中非养老金业务男性表和养老金业 务男性表，计算的这两种保险产品的净保费分别为 17 314元与59 353元。 根据建立的APC模型随机产生5 000个未来死 亡率水平，并且对于 9O岁以上的死亡率按 Coale Guo(1989)的方法扩展到 105岁。则由基于 VaR方 法的自然对冲模型得到的终身寿险的份额见表 1。 为了得出保险公司各产品保费的比例情况，还可以 计算终身寿
14、险产品的保费占总保费的比 ，即是 = ；_ ，结果也列在表 1中。4 训 P -(1一 ) P口 。 。 表 1 各置信水平下最优的终身寿险的比重 (单位： ) 从表 1可以看出，为了使未来产品组合的总损 失小于等于零的概率为 5o ，最少需要 6746 的 终身寿险保单，就是说对冲一份延期终身年金保单 的长寿风险，需要 2O7份终身寿险保单。就保费而 言，终 身寿 险保费 收入要 占到 总保 费收入 的 3768 。随着置信水平的提高，为了对冲长寿风 险，所需要的终身寿险的比重也越来越大。如在置 信水平 80 、95下，自然对冲所需的终身寿险保 单比重为 7O12 、7185 ，终身寿险保费
15、则要 占 总保费的 4O65 、4268 。在这样的产品结构 下，保险公司将以8O 9，6和 95 的概率使未来总损失 不大于零，从而可以消除长寿风险的不利影响。 在上面的分析中，组合包括趸交终身寿险和趸 S0 交延期终身年金两种保险产品。实际上，根据自然 对冲模型，可以计算任意组合下实现自然对冲的产 品份额。下面将考虑利率、年龄及缴费方式等因素 的变化对最优产品组合的影响。 表 2列出了在不同利率下，自然对冲所需的终 身寿险份额。从表中可见，随着利率的上升，所需的 寿险产品份额及保费比重都呈下降趋势。在利率为 2 96时，当寿险产品份额为 7967 ，或保费比重为 5 878 时，有 8O
16、的把握使总损失不大于零。而 当利率为3 、4 、5 时，相应的终身寿险产品份 额和保 费 比重分别 减少 为 7407 、7O12 、 6739 和 48O2 、4O65 、3561 。因为利率 越高，年金产品负债受未来死亡率变化的影响就相 对越小，对冲长寿风险所需的寿险产品也就越少。 表 2 不同利率下各置信水平的最优终身寿险比重 (单位：) 置信水平 002 003 004 005 5O 7781(5605) 7l_76(4511) 6746(3768) 6443(3265) 80 7967(5878) 7407(4802) 7012(4065) 6739(3561) ! ：! ! ： !
17、 ： ! ： ! ! ： !丝： !：型翌： ! 注：括号内为保费比重。 假定延期趸交终身年金的年龄不变，考虑趸交 终身寿险签单年龄对最优产品组合的影响。表 3给 出了趸交终身寿险的签单年龄分别为 3O岁、4O岁、 5O岁、6O岁时，最优产品组合中终身寿险的比重。 可以看出，随着终身寿险签单年龄的增加，各置信水 平下的终身寿险份额越来越小，而保费比重则越来 越大。这是因为随着签单年龄的增加，终身寿险的 负债基数变大，其损失受死亡率变动影响的绝对变 化量变大，而延期年金产品没变，所以终身寿险产品 的份额也就越来越小，但同时终身寿险的纯保费随 签单年龄的增加而变大，以致终身寿险的保费比重 呈现出越
18、来越大的趋势。但在签单年龄为 6O岁时， 因为终身寿险负债受死亡率变动影响的时间变短， 使得其损失的未来变化量变小，以致其份额在置信 水平为80 和 9O 下比之前略高。 表 3 不同年龄下各置信水平的最优终身寿险比重 (单位： ) 置信水平 3O岁 4O岁 5O岁 60岁 50 6746(3768) 6337(4169) 5865(4507) 5864(5298) 8O 7012(4065) 6453(4292) 6000(4645) 6213(6660) 95 7185(4268) 65I1(4354) 6137(4789) 6694(6168) 注：括号内为保费比重。 最后考虑缴费方式对
19、自然对冲的最优产品组合 的影响。表4给出了3O岁终身寿险与 40岁延期 20 年终身年金在趸交保费、l0年期均衡缴费、20年期均 衡缴费时自然对冲所需的最优终身寿险比重。随着 黄顺林，王晓军：基于 VaR方法的长寿风险自然对冲模型 缴费期限的增加，各置信水平下最优终身寿险的产品 比重与保费比重都越来越大。但总的看来，缴费方式 对最优产品组合的影响不大，因为缴费期限的延长， 对寿险产品与年金产品的负债影响程度相差不大。 表4 不同缴费方式下备置信水平的 最优终身寿险比重(单位：) 注：括号内为保费比重。 五 、结束语 鉴于中国保险公司养老产品面临日益严重的长 参考文献 ： 1 2 CairnsA
20、 J G。B1akeD，DowdK AsTIN Bulletin，2006，36(1) Milevsky M APromislow S D Economies，2001，29(3) 寿风险，本文建立了基于VaR方法的长寿风险自然 对冲模型，并在利用 APC模型对中国男性人口死亡 率进行预测的基础上，应用模型构造了对冲长寿风 险的最优产品组合，并就利率、签单年龄、缴费方式 等因素对最优产品组合的影响进行了分析。 在实务中，年金产品和寿险产品购买者的死亡 率是不同的，但由于数据的限制，本文假定了两种产 品未来的死亡率及变化趋势一样，不过保险公司可 以在自身积累的数据基础上利用本文的模型计算产 品的
21、比例结构。尽管保险公司的产品结构会受到公 司战略、公司目标、市场竞争等众多内外部因素的影 响，但考虑自然对冲的产品组合对保险公司规避或 降低长寿风险无疑具有重要的借鉴意义。 Pricing Death：Frameworks for the Valuation and Securitization of Mortality RiskJ Mortality derivatives and the option to annuitizeJInsurance：Mathematics and 3 Blake D，Cairns A J G，Dowd K，MacMinn R Longevity bonds：
22、Financial engineering，valuation and hedgingJ Journal of Risk and Insurance，2006，73(4) 4 Dowd K，Blake D，Cairns A J G，Dawson PSurvivor swapsJJournal of Risk and Insurance，2006，73(1) 5 Cowley A，Cummins J n curitization of life insurance assets and liabilitiesJJournal of Risk and Insurance，2005，72(2) 6
23、Cox s H，Lin YNatural hedging of life and annuity mortality risksJNorth American Actuarial Journal，2007，11(3) 7 Wang J L，Huang H C，Yang S S，Tsai J rrAn optimal product mix for hedging longevity risk in life insurance companies：The immunization theory approachJJournal of Risk and Insurance，2010，77(2)
24、83 Tsai J T，Wang J L，Tzeng L YOn the Optimal Product Mix in Life Insurance Companies using Conditional Value at RiskJInsurance：Mathematics and Economics，2010，46(1) 9 黄顺林，王晓军加入出生年效应的死亡率预测及其在年金系数估计中的应用口统计与信息论坛，2010(5) 1oRenshaw A E，Haberman S A cohortbased extension to the LeeCarter model for mortalit
25、y reduction factorsJ- Insurance：Mathematics and Ec onomics，2006，38(3) 11Lee R D，Carter L R Modeling and forecasting US mortalityJJournal of the American Statistical Association，1992， 87(3) 12Coale A，Guo G Revised Regional Model Life Tables at Very Low Levels of MortalityJ1Population Index，1989，55(4)
26、 Natural Hedging Strategy for Longevity Risks Based Oil V and Application in Insurance Companies HUANG Shun-lin 一。WANG Xiao-j un2 (1School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing 210046，China； 2School of Statistics，Renmin University of China，Bering 100872，China) Ab
27、stract：With the decline in mortality and improvement of life expectancy，1ongevity risk of lire insurance companies can not be ignored Firstly，the natural hedging strategy based on VaR for the longevity risk is investigated Then a cohort based extension to the Lee Carter model is fitted and projected
28、 for mortality data o;f the male population in ChinaOn the basis of the mortality experience，the optimal product mix to hedge longevity risk for the insurers is given Finally the impacts of the interest rates，age，and payment method on the optimal product mix are examined Key words：longevity risk；natural Hedging；mortality model (责任编辑：张治国) 51