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1、概率论与数理统计答案 概率论答案chapter07 第七章参数估计1随机地取只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）试求总体均值及方差的矩估计值，并求样本方差s解总体均值的矩估计值，总体方差的矩估计值分别为珚xii钞nx，第七章参数估计（）PXxmx135p（p）xmx，x，m，其中p，p为未知参数解（）xf（x）dxccxcxc（）c由此得cxdx，dx珡代替，得到的矩估计量和矩估计值分别为在上式中以X珡X珚x，（）由此得xxdxxdx珡代替，得的矩估计量和矩估计值分别为在上式中以X珡X珚x，（）因E（X）mp，得p，以珡X代替，得到p的矩估计量和矩估计值分别为p珡，p珚x3求上题中各未知参数
2、的最大似然估计值和估计量解（）设x，x，xn是一个样本值似然函数为LL（x，x，xn；）（c）ninicx（）inx（）i（c）ninxi（）lnLn（lnlnc）（）ln令lnLnlncinxii钞nlnxi，得的最大似然估计值为i钞nlnxilnc，136概率论与数理统计习题全解指南的最大似然估计量为Li钞nlnXilncn（）设x，x，xn是一个样本值似然函数为in（xi）ninxi，lnLln（）钞lnxii令lnLlnxi，i钞n得的最大似然估计值为的最大似然估计量为i钞lnxi，i钞lnXimxinmx（）设x，x，xn是一个样本值似然函数为LlnLln令inPXixininpi（
3、p）imxiimxinpi钞（p）xin钞nxi，imxini钞nxilnp（nmi钞nxi）ln（p），得p的最大似然估计值为lnLi钞xi（nmi钞nxi），pp的最大似然估计量为i钞nxi，其中珚x珚xi钞nxi，珡p4（）设总体X具有分布律第七章参数估计Xpk（）（）137其中（）为未知参数已知取得了样本值x，x，x试求的矩估计值和最大似然估计值（）设X，X，Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量及矩估计量（）设随机变量X服从以r，p为参数的负二项分布，其分布律为PXxkxkrp（p）rxrk，xkr，r，其中r已知，p未知设有样本值x，x，xn，试求p的最大似
4、然估计值解（）（i）（）（）解得（），故得的矩估计值为今珚x（珚x）（xxx）（），故的矩估计值为（ii）由给定的样本值，得似然函数为LiPXixiPXPXPX（）（），lnLlnlnln（）lnL，令得的最大似然估计值为（）（i）设x，x，xn是相应于样本X，X，Xn的样本值，则似然函数为Linixiienn钞nxiiinxi！，lnLn令钞xilnlninxi！lnLni钞nxi，138概率论与数理统计习题全解指南x，最大似然估计量为钞x珚珡Xin得的最大似然估计值为i（ii）因E（X），故的矩估计量也是珡X（）似然函数为L（p）knPXxknknxkrnp（p）xnrkrxrkkxkrp
5、（p）钞knr，令（lnL）得p的最大似然估计值为lnLlnCnrlnpk钞nnxknrln（p），C为常数xknr，k钞p5设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为f（t）e（tc），tc，其他，其中c，（c，）为未知参数自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验设它们的失效时间依次为xxxn（）求与c的最大似然估计值（）求与c的矩估计量解（）似然函数为L（，c）L（x，x，xn；，c）nie（xc）i，x，x，xnc，其他，e由题设xxxn，故x，x，xnc相当于xc，因而上式相当于L（，c）钞nxnciicx，cx，可知当cx时，L（，c）随c的增加而递增，而当c
6、x时L（，c），因而对于固定的，L（，c）在cx取到最大值，从而知应取cx第七章参数估计另外，当cx时，将L（，c）取自然对数得lnL（，c）nln令抄lnL（，c），得抄lnL（，c）于是由此可知c，的最大似然估计值为i139i钞nxinc钞nxinc，珚xccx，珚x（）令uxdt，tf（t）dtce（tc），得令u（uc）educ（）c，utf（t）dtce（tc）dt，得由此得（uc）edu（）c（）cccu（c），ciX，A将上两式中的，分别换成A珡i钞nXi，并注意到AA钞n（Xi珡X），就得到及c的矩估计量为i钞（XniX），c珡X珡i钞（XniX）珡6一地质学家为研究密歇根湖湖
7、滩地区的岩石成分，随机地自该地区取个样品，每个样品有块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数假设这次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为m，p的二140概率论与数理统计习题全解指南项分布，p是这地区一块石子是石灰石的概率求p的最大似然估计值该地质学家所得的数据如下：样品中属石灰石的石子数i观察到i块石灰石的样品个数解设X为一个样品中属石灰石的石子数，则Xb（，p），由本章习题第题知p的最大似然估计值为xp由给出的数据得p7（）设X，X，Xn是来自总体X的一个样本，且X（），求PX的最大似然估计值（）某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布求一个扳道员在五年内
8、未引起严重事故的概率p的最大似然估计使用下面个观察值下表中，r表示一扳道员五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数r珚x，于是解（）设x，x，xn是相应于样本X，X，Xn的样本值本题需求PX的最大似然估计由第题知的最大似然估计值珚x，又由于函数uee具有单值反函数：lnu，由最大似然估计的不变性知PXe的最大似然估计值为xPXe（）由所给数据，得珚xi钞xi（）第七章参数估计由（）知，扳道员五年内未引起严重事故的概率pPXe估计值为141的最大似然PXpexe8（）设X，X，Xn是来自概率密度为f（x；）的总体的样本，未知，求Uex，x，其他，的最大似然估计值（）设X，X，Xn是来自
9、正态总体N（，）的样本未知，求PX的最大似然估计值（）设x，x，xn是来自总体b（m，）的样本值，又最大似然估计值解（）先求的最大似然估计似然函数为L（）i（），求的nxininxi，lnL（）nln（）ln令iinxi钞nlnxi，（倡）得的最大似然估计值为Ue值为i钞nlnxi具有单调反函数，故由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计（）已知的最大似然估计为x而PXPX珚（）具有单调反函数由最大似然估计的不变性得PX的最大似然估计值为Ue由（倡）所确定，其中珚xm由最大似然估计的不变性得的最大似然估计值为珚9（）验证教材第六章定理四中的统计量x）（）（珚（）由本章习题第题知二项分布Xb（m
10、，）的参数的最大似然估计为142Sw概率论与数理统计习题全解指南nn（n）S（n）SSS是两总体公共方差的无偏估计量（Sw称为的合并估计）（）设总体X的数学期望为，X，X，Xn是来自X的样本，a，a，an是任意常数，验证（i钞naiXi）i钞nai（其中i钞nai）是的无偏估计量证（）注意到E（S）E（S），即有（n）S（n）SE（S）Ew（n）E（S）（n）E（S），故Sw是的无偏估计量（）E（i钞naiXi）i钞naii钞钞nnE（aiXi）aiE（Xi）i钞钞nnaiai这就证明了i钞naiXi10设X，X，Xn是来自总体X的一个样本，设E（X），D（X）ni钞niii钞naii钞nai
11、，ai是的无偏估计量（）确定常数c，使c（）确定常数c使（珡X）cS是的无偏估计（珡X，S是样本均值和样本方差）ni钞（XiXi）为的无偏估计解（）Eci钞（XniXi）cccin钞钞E（XiXi）inD（XiXi）E（XiXi）i钞D（Xi）D（Xi）（n）c（因Xi，Xi相互独立且E（XiXi）n要使应取cEci钞（XiXi）（n）c，（）要使E（珡X）cSE（珡X）cE（S）第七章参数估计应取c143c，11设总体X的概率密度为f（x；）x（），x，其他，X，X，Xn是来自总体X的样本（）验证的最大似然估计量是i钞n是的无偏估计量（）证明解（）似然函数为lnXiL（）inxi（），lnL
12、（）nlnlninxi令lnL（）得nii钞nlnxi，钞nlnxi于是得到的最大似然估计量为i钞nlnXi（）因ElnX（lnx）xlnxxxdxn，dx从而知）E（i为的无偏估计故知设有估计量钞nE（lnXi）12设X，X，X，X是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未TT（XX）（XX），（XXXX），144概率论与数理统计习题全解指南T（XXXX）（）指出T，T，T中哪几个是的无偏估计量（）在上述的无偏估计中指出哪一个较为有效解已知对于均值为的指数分布总体X，有E（X），D（X），于是E（Xi），D（Xi），i，所以E（T）E（T）E（T）E（X）E（X）E（X）E（X），E（X）E（
13、X）E（X）E（X）（），E（X）E（X）E（X）E（X）（）（XX）（XX）以上结果表明T，T都是的无偏估计量，但T不是的无偏估计量又D（T）DD（XX）D（XX）D（X）D（X）D（X）D（X），而D（T）D（XXXX）D（T），i钞D（Xi）故统计量T较T有效且有D（13（）设是参数的无偏估计，），试证）不是的无偏估计（）试证明均匀分布f（x），x，其他，第七章参数估计中未知参数的最大似然估计量不是无偏的证（）由D（得知（）及E（），）的数学期望为145故（）不是的无偏估计量E（）E（）D（）E（）D（），（）似然函数为L（），x，x，xn，其他，记x（n）maxx，x，xn，由于x，x
14、，xn相当于x（n），因而上式相当于L（），x（n），x（n）可知当x（n）时，L（）；而当x（n）时，故L（）在x（n）处取到L（）随的增加而减少；最大值（题畅图），即得的最大似然估计值为题畅图x（n）maxx，x，xn，X，Xnx，x，x，z，），z，zn于是的最大似然估计量为maxX本题总体X的分布函数为，F（x），得maxX，X，Xn的分布函数为F（z）Fmax（z）F（z）（n，由此推得的概率密度为f（z）fmax（z）n，z，其他，146于是E（）概率论与数理统计习题全解指南zf（z）dznndz故不是的无偏估计量n，14设从均值为，方差为的总体中分别抽取容量为n，n的两独立样本珡
15、X和珡X分别是两样本的均值试证：对于任意常数a，b（ab），Ya珡Xb珡X都是的无偏估计，并确定常数a，b使D（Y）达到最小解由E（珡X）E（珡X）以及ab，得知珡）E（Y）E（a珡Xb珡X）aE（珡X）bE（Xab（ab），即对于任意a，b，只要ab，则Y都是的无偏估计量又D（珡X），D（珡X），且珡X，珡X相互独立，由此得D（Y）D（a珡Xb珡X）D（a珡X）D（b珡X）X）bD（珡X）aD（珡将ba代入上式，得到D（Y）令得从而a（a）D（Y），an，n，（a）baD（Y）又由于故知当a，15设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为i（i，k）用这些仪器独立地对某一物理
16、量各观察一次，分别得到X，X，Xk设仪器都没有系统误差，即E（Xi）（i，k）问a，a，ak取何值，方能使使用inn，b时，D（Y）达到最小钞kaiXi估计时，是无偏的，并且D（）最小？第七章参数估计解要使是的无偏估计，则必须147E（）EaXaXakXk（aaak）即必须aaakD（）Dkkk（A）又由题设知D（Xi）i，i，k，且X，X，Xk相互独立，故有i钞aiXii钞D（aiXi）i钞aiD（Xi）aaakk为求D（）在条件（A）下的最小值，用拉格朗日乘数法，作函数g（a，a，ak，）aaakk（aaak）令抄g抄ga，a，抄g抄gakk，k得ai钞kai，a，iak，k将前k个式子代
17、入末式，得在上式中记钞k（B）aii钞kii钞ki，即有，代入（B）式，得a，a，ak，k，k时，用即当ai，i，ii钞kaiXi估计时，是无偏的且其方差为最小（相对于其他无偏估计来说）16设某种清漆的个样品，其干燥时间（以h计）分别为设干燥时间总体服从正态分布N（，）求的置信水平为的置信区间（）若由以往经验知h，（）若为未知148概率论与数理统计习题全解指南珋），本，需要求的置信水平为的置信区间，即需确定随机区间（，使得P珋考虑P？解（）总体XN（，），未知，已知，X，X，Xn是来自X的样珡因N（，），如题畅图有n珡Pz珡？，nnz题畅图在内的不等式中解出，得Xz珡XzP珡珡Xz，珡Xz，即
18、得的一个置信水平为的置信区间为今n，z，并算得珚x，得到的置信区间为的一个置信水平为（z）（）（，）（）为未知，由于有Pt（n）珡t（n）S珡t（n），n在内的不等式中解出，得P珡Xt（n）珡Xt（n），即得的一个置信水平为的置信区间为珡Xt（n），珡Xt（n）今n，t（），并算得珚x，s的置信区间为畅，得到的一个置信水平为）（，）（17分别使用金球和铂球测定引力常数（单位：（）用金球测定观察值为mkgs）第七章参数估计（）用铂球测定观察值为149设测定值总体为N（，），均为未知试就（），（）两种情况分别求的置的置信区间信水平为的置信区间，并求的置信水平为解（）n，珚x，s，t（n），得的一个
19、置信水平为的置信区间为t（）（珚xt（n）（）（）（，）由于（n），在内的不等式中解出，得有P（n）（n）S（n）（n）S（n）SP，（n）即得的一个置信水平为的置信区间为（n）S（n）S，查表知（n）（），（）（），得到的一个置信水平为的置信区间为（）（），（，）（）n，珚x，s，t（），（），）（），），（的一个置信水平为的置信区间为（）（），（），得到的一个置信水平为的置信区间为（，）18随机地取某种炮弹发做试验，得炮口速度的样本标准差sms设炮口速度服从正态分布求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信水平为150畅的置信区间概率论与数理统计习题全解指南解今n，s，（n）（）畅，（n）（），得
20、到标准差的一个置信水平为的置信区间为，（n）（n），）（19设X，X，Xn是来自分布N（，）的样本，已知，未知（）验证i钞n（Xi）（n）利用这一结果构造的置信水平为的置信区间（）设，且有样本值，畅，畅试求的置信水平为的置信区间解（）因XiN（，），故iN（，），i，n由XXXn，相互独立，得i钞ni（n）于是有P（n）i钞n（Xi）（n）i，即有Pi钞（Xni）（n）ni钞（Xn）（n）得的置信水平为的置信区间为i钞（Xi）（n），i钞（Xni）（n）（）现在n，由样本值经计算得i钞（Xi），查表知，（），（），于是的置信水平为的置信区间为（，）的置信水平为的置信区间为（，）20在题中，设用
21、金球和用铂球测定时测定值总体的方差相等求两个测定值总体均值差的置信水平为的置信区间第七章参数估计解由于未知，因而151（珡X珡X）（）t（nn），Sw其中Sw（珡X珡X）（）Pt（nn）t（nn）Sw得在内的不等式中解出，P珡X珡Xt（nn）Sw（n）S（n）S，即有珚t（nn）Sw珚XX，即得的一个置信水平为的置信区间为珡X珡Xt（nn）Sw今nn，t（nn）t（），珚x珚x，得到的置信区间为两个测定值总体均值差金铂的一个置信水平为（）（，）21随机地从A批导线中抽根，又从B批导线中抽根，测得电阻（）为A批导线：B批导线：设测定数据分别来自分布N（，），N（，），且两样本相互独立又，均为未知
22、试求的置信水平为的置信区间解将A批导线测定数据的均值、方差分别记为珔x，s；B批的均值、方差分别记为珔x，s则有，x，s；n，珔n，珔x，s，wsss（），t（nn）t（）152概率论与数理统计习题全解指南得的一个置信水平为的置信区间珚x珚xt（nn）sw）（，）（22研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为cms，取样本容量为nn得燃烧率的样本均值分别为珚xcms，珚xcms，设两样本独立求两燃烧率总的置信区间体均值差的置信水平为解分别记两种固体燃料火箭推进器的燃烧率总体为X和X，按题意XN（，），XN（，），其中，未知，已知，两样本独立，此时
23、有珡珡NXXX珡X）（）（珡nn，），N（，因而有Pz（珡X珡X）（）znn在内的不等式中解出，得P（珡X珡X）z，即得的一个置信水平为的置信区间为（珡X珡X）z珡珡zXX今，nn，珚x，珚x，畅，畅，z，得到的一个置信水平为的置信区间为（）（）（）（，）23设两位化验员A，B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做，sB设A，B分别为次测定，其测定值的样本方差依次为sAAB的置信水平为的置信区间A，B所测定的测定值总体的方差设总体均为正态的，且两样本独立求方差比第七章参数估计153解本题是两个总体均值均未知时，求两总体方差比的置信区间的问题已知nn，sA，sB，F（，），F（，），得AB的一个置信水平为的置信区间为sAsA，）（BB24在一批货物的容量为的样本中，经检验发现有只次品，试求这批货物次品率的置信水平为的置信区间解本题是（）分布总体X的参数的区间估计问题，现在样本容量n