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1、71解析函数的特性教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论.重点：保角映射的概念与性质.难点：解析变换的保域性.课时：4课时教学过程：前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理.一解析函数的保域性.定理7.1 (保域定理)设在区域内解析且不恒为常数,则的象也是一个区域.证明：按区域的定义：要证是一个连通开集.首先证明是一个开集即证的每一个都是内点,设是内的任意一点，则存在，使得，由第六章的儒歇定
2、理，必存在的一个邻域.对于其中的任一数，函数在内（是内的邻域）必有根，即，这记.表明是的内点.由的任意性知是开集其次证明是连通集.由于是区域,可在内部取一条联结的折线.于是： 就是联结的并且完全含于的一条曲线.从而,由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结内接于且完全含于的折线. 从以上两点，表明是区域.推论7.2 设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域.证明：用在区域内单叶，必在内不恒为常数.定理7.3 设函数在点解析,且,则在的一个邻域内单叶解析.由此可见，符合本定理条件的解析变换将的一个充分小邻域变成的一个曲边邻域.2 解析变换的保角导数的几何意义设于区域内解析, ,在点有导数.
3、通过任意引一条有向光滑曲线 ,，则必存在且，从而由第二章习题（一）1，在有切线，就是切向量，它的倾角为.经过变换，之象曲线的参数方程应为 由定理7.3及第三章习题（一）13，在点的邻域内是光滑的，又由于，故在也有切线，就是切向量，其倾角为 即 假设 则必 ，于是 （7.1）且 （7.2）图7.1假定轴与轴、轴与轴的正方向相同（如图7.1），而且将原曲线的切线正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则 （7.1）说明:象曲线在点的切线正向,可由原象曲线在点的切线正向旋转一个角得出:仅与有关,而与过的曲线的选择无关,称为变换在点的旋转角这也就是导数辐角的几何意义.
4、 （7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是，它仅与有关,而与过的曲线之方向无关,称为变换在点的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.上面提到的旋转角与的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示将处无穷小的圆变成处的无穷小的圆,其半径之比为.上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.经点的两条有向曲线、的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设在点的切线倾角为；在变换下的象曲线在点的切线倾角为，则由（7.1）有及即有 所以 这里是和在点的
5、夹角（反时针方向为正），是和在象点的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持夹角的方向（图7.2）.图7.2定义7.1 若函数在点的邻域内有定义,且在点具有:(1)伸缩率不变性；(2)过的任意两曲线的夹角在变换下,既保持大小，保持方向； 则称函数在点是保角的.或称在点是保角变换.如果在区域内处处都是保角的,则称在区域内是保角的,或称在区域内是保角变换.下面我们来讨论保角变换的性质.定理7.4 如在区域内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.由上面的讨论即得. 推论7.5 如在区域内单叶解析,则称在区域内是保角的.注：由定理6.11，在内例7.1 试求变换在点处的旋转
6、角，并且说明它将平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？解 因 ， ，故在点处的旋转角又因，这里，而的充要条件是，故把以为心，为半径的圆周内部缩小，外部放大.例7.2 试证：将互相正交的直线族与依次变为互相正交的直线族与圆周族证 正交直线族 与在变换 下，有，即有象曲线族与.由于在平面上处处解析，且，所以在平面上圆周族与直线族也是互相正交的.作业： 1，2.3.单叶解析变换的共形性 定义7.2 如果在区域内是单叶且保角的，称此变换在内是共形的，也称它为内的共形映射. 注 解析变换在解析点如有（由在的连续性，必在的邻域内0），于是在点保角，因而在的邻域内单叶保角，从而在的邻域内共形（局部）；在区域内（
7、整体）共形，必然在内处处（局部）共形，但反过来不必真. 定理7.6 设在 区域内单叶解析.则(1) 将保形变换成区域.(2)反函数在区域内单叶解析,且 证 (1)由推论7.2，是区域,由推论7.5及定义7.2, 将保形变换成. (2)由定理6.11, ,又因是到的单叶满变换,因而是到的一一变换.于是,当时, ,即反函数 在区域内单叶.故由假设在区域内解析,即在内满足条件 .故 由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数 在点及其一个邻域 内为连续.即在邻域中,当时,必有.故 即 由于或的任意性,即知 在区域内解析.注1保形变换将区域共形映射成区域，而其反函数将区域共形映射成区域，这时，区域内的一
8、个无穷小曲边三角形变换成区域内的一个无穷小曲边三角形（如图7.3），由于保持了曲线间的夹角大小及方向，故与“相似”.这是共形映射这一名称的由来.图7.3 显然，两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.具体地说，如将区域共形映射成区域，而将共形映射成区域，则将区域共形映射成区域.利用这一事实，可以复合若干基本的共形映射而构成较为复杂的共形映射.例7.3 讨论解析函数（为正整数）的保角性和共形性. 解 （1）因为 故在平面上除原点外.处处都是保角的. （2）由于的单叶性区域是顶点的原点张度不超过的角形区域.故在此角形区域内是共形的.在张度超过的角形区域内，则不是共形的，但在其中各点的邻域内是共形的(
9、定理7.3). 作业： 3.2分式线性变换教学目的与要求：使学生掌握线性变换的概念、性质与应用重点：分式线性变换的性质及其应用难点：反演变换的对称点课时：4学时1分式线性变换及其分解 ， （7.3）称为分式线性变换(或变换),有时也简记为.在（7.3）中,则,于是,从而导致恒为常数.因此条件是必要的.此外,如果对（7.3）式在扩充平面上补充如下定义:当时,定义;当时,定义.从而我们就认为是定义在整个扩充平面上,而且将扩充平面一对一地因而单叶地变为扩充平面,因为（7.3）式具有如下的逆变换 （7.4）由定理7.1的注即可知分式线性变换（7.3）在扩充平面上是保域的.其次, （7.3）式总可以分解
10、为下式两个简单的变换的复合:() () 这是因为当时, （7.3）式为,此即为()型变换当时，（7.3）式可改写为，它是下面三个()或()型变换的复合：和由此我们可以知道，只要弄清()和()型变换的几何性质，则分式线性变换（7.3）的几何性质也就随之清楚.下面我们讨论()和()型变换的几何性质() 型变换也称为整线行变换.设（，为实数），则，它实际上是由三个变换：旋转 伸缩和平移复而成的.也就是先将旋转角度，然后按比例系数作一个以原点为中心的伸缩，最后再平移一个向量（如图7-4）.图7.4从图上也可看出，这种变换是相似变换且保持图形的方向不变.()型变换 称为反演变换.它可以分解为下面两个变换
11、的复合：(.1) (7.5)(.2) (7.6) (.1)与(.2)分别称为关于单位圆周和关于实轴的对换变换,并称与是关于单位圆周的对称点,与是关于实轴的对换变换.已知点,可用如图7-5的几何方法作出点,然后作出. 图7.5从图7.5可以看出,与都在过单位圆圆心o的同一条射线上且,从而 (即等于半径的平方)因此与是关于单位圆周的对称点.此外我们规定圆心o关于单位圆周的对称点为例1:试证:除恒等变换之外,一切分式线性变换（7.3）恒有两个相异的或一个二重的不动点(即自己变成自己的点)证 分式线性变换 （7.3） 的不动点一定适合方程 即 （7.7）如果（7.7）的系数全为零,则（7.3）就成为恒
12、等变换.故（7.7）的系数不能全为零.(1) 若,则（7.7）有两个根 ,当时, （7.3）有两个相异的不动点和.当时, （7.3）有一个二重不动点.（2）若.这时（7.7）成为 当时, （7.7）有根.这时（7.3）成为, 所以这时（7.3）有不动点和.当时,必.不动点.故这时（7.3）以为二重不动点.2. 分式线性变换的性质(2.1)共形性 定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为.对于()型变换,根据定理7.4知它在和的各处是保角的.而当或时由定义7.3它也是保角的.于是()型变换在扩充平面上是保角的对于()型变换,当时, ,因而它在的各处是
13、保角的.其次,当时,其像点为.我们引入两个反演变换:它们分别将平面与 平面的无穷远点保角变换为平面与平面的原点.将上述两个变换代入()型变换得 (7.8), 它将平面的原点变为平面的原点而且故变换(7.8)在是保角的.于是()型变换在也是保角的综合上述讨论我们就可得到定理7.7分式线性变换在扩充平面上是共形的注:在无穷远点处不可考虑伸缩率的不变性.(2.2) 分式线性变换的保交比性定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充平面上是共形的.注 在无穷远点处不考虑伸缩率的不变性.3.分式线性变换的保交比较定义7.4扩充平面上有顺序的四个相异点构成下面的量,称为它们的交比，记为. 当四点中有一点为时,应
14、将包含此点的项用1代替. 例如 时,即有 , 亦即先视为有限,再令取极限而得.定理7.8在分式线性变换下,四点的交比不变.证 设 则因此 其他可能情形的证明留给读者.从形式上看,分式线性变换（7.3）具有四个复参数但由条件可知至少有一个不为零,因此就可用它去除（7.3）的分子及分母,于是（7.3）实际上就只依赖于三个复参数(即六个实参数).为了确定这三个复参数,由定理7.8可知,只须任意指定三对对应点: 即可.因从就可得到变换(7.3),即,其中就可由及来确定,且除了相差一个常数因子外是惟一的.这就证明了:由(7.3)式中的条件可知四个参数中至少有一个不为零.因此用此条件去除(7.3)的分子和
15、分母后实际上只剩下三个参数.根据定理7.8如果知道和的三个对应点就可得到变换(7.3),且除了相差一个常数因子外是唯一的.于是我们便得到定理7.9 设分式线性变换将扩充平面上三个相异点指定为,则此分式线性变换就被惟一确定,并且可以写成 (7.10)(即三对对应点惟一确定一个分式线性变换)例7.5 求将2,-2对应地变成-1,1的分式线性变换, 解 所求分式线性变换为 , 即 , 化简为 , 于是 ,化简后得 (2.3) 分式线性变换的保圆周(圆)性显然,根据()型变换的几何意义易于推得() 型变换将圆周(直线).对于() 型变换,由于圆周或直线可表示为,(为实数,) (7.11)当时表示直线,
16、经过反演变换后, (7.11)就变为,它表示直线或圆周. 根据分式线性变换(7.3)是()和()型变换的复合就可得到定理7.10分式线性变换将平面上的圆周（直线）变为圆周或直线.注 在扩充平面上，直线可视为经过无穷远点的圆周，事实上，（7.11）可改写为欲其经过，必须且只须A=0.因此可以说：在分式线性变换（7.3）下，扩充z平面上的圆周变为扩充平面上的圆周，同时，圆被保形变换成圆.（24）分式线性变换的保对称点性图7.6反之，在扩充平面上给定区域d及D，其边界都是圆周，则d必然可以共形映射成D.分式线性变换就能实现，且在一定条件下，这种分式线性变换还是唯一的.注 （1）当或为直线时，其所界的
17、圆是以它为边界的两个半平面；（2）要使分式线性变换把有限圆周C变成直线，其条件是C上的某点变成.作业318 4（1）、（3），5，5分式线性变换的保对称点性 在第一段中，我们曾经讲过关于单位圆周的对称点这一概念，现推广如下：定义7.5 关于圆周对称是指 都在过圆心的同一条射线上,且和. (7.6)此外，还规定圆心与点也是关于为对称的（如图7.7）.由定义即知关于圆周对称，必须且只须.（7.5）下述定理从几何方面说明了对称点的特性. 图7.7 图7.8定理7.11 扩充z平面上两点关于圆周对称的充要条件是，通过的任意圆周都与正交.证 当为直线的情形，定理的正确性是很明显的，我们只就为有限圆周的情
18、形给予证明（图7.8）. 必要性 设关于圆周对称,则过的直线必然与正交(按对称点的定义, 在从出发的同一条射线上).设是过的任一圆周(非直线),由引的切线.,为切点由平面几何的定理得 但由关于圆周对称的定义,有 所以 即是说是圆周的半径.因此与正交.充分性 设过的每一圆周都与正交.过作一圆周(非直线),则与正交.设交点之一为,则的半径必为的切线. 联结,延长后必经过 (因为过的直线与正交).于是在从出发的同一条射线上,并且由平面几何的定理得因此, 关于圆周对称.下述定理就是分式线性变换的保对称点性.定理7.12 设扩充平面上两点关于圆周对称,为一分式线性变换,则两点关于圆周为对称.证 设是扩充
19、平面上经过的任意圆周.此时,必然存在一个圆周,它经过,并使.因为关于对称,故由定理7.11,与正交.由于分式线性变换的保角性,与亦正交.这样,再由定理7.11即知关于对称.6.分式线性变换的应用 分式线性变换在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中,具有很大的作用.下面三例就是反映这个事实的重要特例:例7.6 把上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换可以写成其中是实数,且满足条件 (7.12) 事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当为实数时即实轴变成实轴是同向的(如图7.9),因此上半平面共形映射成上半平面. 当然,这也可以直接由下面的推导看出: 图7.9注 满足条件(7.12)的分式线性变换也将
20、下半平面共形映射成下半平面.例7.7 求出将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换,并使上半平面一点变为.解 根据分式线性变换保对称点的性质,点关于实轴的对称点应该变到关于单位圆周的对称点.因此,这个变换应当具有形式: （7.13）其中是常数.的确定,可使实轴上的一点,例如,变到单位圆周上的一点 因此 所以,可以令(是实数),最后得到所要求的变换为 (7.13)在变换(7.13)中,即使给定了,还有一个实参数需要确定.为了确定此,或者指出实轴上一点与单位圆周上某点的对应关系,或者指出变换在处的旋转角.(读者可以验证,变换(7.13)在处的旋转角)由(7.13)可见,同心圆周族的原像是圆周族这是
21、上半平面内以、为对称点的圆周族,双根据保对称性可知,单位圆内的直径的原像是过、的圆周在上半平面内的半圆弧.例7.8求出将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换,并使一点变到.解 根据分式线性变换保对称点的性质,点(不妨假设)关于单位圆周的对称点,应该变成关于单位圆周的对称点,因此所求变换具有形式 (7.14)整理后得 其中是常数.选择,使得变成单位圆周上的点,于是即,因此可令(是实数),最后得到所求的变换为 (7.14)的确定还要求附加条件,如像例7.7中所说过的类似.(读者可以验证,对于变换(7.14),有.)由(7.14)可见,同心圆周族的原像是这是平面上单位圆内以、为对称点的圆周族:而单位
22、圆内的直径的原像是过与两点的圆周在单位圆内的圆弧.注 上两例我们见到的分式线性变换的惟一性条件是下列两种形式:(1)(一对内点对应),再加一对边界点对应.(2)(一对内点对应),(即在点处的旋转角固定).思考题 (1)求将上半平面共形映射成下半平面的分式线性变换,(7.12)括弧中的条件应怎样修改?(2)求将上半平面共形映射成单位圆周外部的分式线性变换,(7.13)括弧中的条件就作怎样修改?(3)求将单位圆其形映射成单位圆周外部的分式线性变换,(7.14)括弧中的条件应作怎能样修改?例7.9 求将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换,使符合条件: 解 设所求分式线性变换为 ,其中都是实数,
23、由于,必,因而.用除分子分母,则变形为其中都是实数,再由第一个条件得 ,即 ,所以 解之得 故所求的分式线性变换为即下IA Iaa例710 求将上半z平面共形映射成圆的分式线性变换，使符合条件.解 作分式线性变换 将圆共形映射成单位圆. 其次，作出上半平面到单位圆的共形映射，使变成，此分式线性变换为（如图7.10）（为了能应用上述三个特别的结果.我们在平面与平面间插入一个“中间”平面平面.） 复合上述两个分式线性变换得， 图7.10它将上半平面共形映射成圆变成再由条件，先求得 即 于是 所求分式线性变换为 作业： 318 6，7（1），8（1）.3某些初等函数所构成的共形映射教学目的与要求：使
24、学生掌握幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质与应用重点：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质与应用难点：幂函数与指数函数的单叶性区域课时：2学时初等函数所构成的共形映射对今后研究较复杂的共形映射大有作用.1幂函数与根式函数 先讨论幂函数 其中是大于1的自然数.除了及外，它处处具有不为零的导数，因而在这些点是保角的. 由第二章3，的单叶性区域是顶点在原点张度不超过的角形区域.例如说，在角形区域内是单叶的，因而也是共形的（因为不保角的点及在的边界上，不在内）.于是幂函数将图的角形区域共形映射成角形区域 图7.11 特别，将角形区域共形映射成平面上除去原点及正实轴的区
25、域（图）. 图7.12作为的逆变换， （7.16）将平面上的角形区域共形映射成平面上的角形区域（图7.11）.(这里是D内的一个单值解析分支,它的值完全由区域d确定).总之,以后我们要将角形区域的张度拉大或缩小时,就可以利用幂函数（7.15）或根式函数（7.16）所构成的共形映射.例7.11求一变换,把具有割痕“”的上半z平面共形映射成上半w平面 解 复合图7.13所示五个变换,即得所要求的变换为,例7.12 将区域共形映射成上半平面.使分别变成（图7.14） 解 易知 将指定区域变成上半平面,不过变成.现再作上半平面到上半平面的分式线性变换,使变成.此变换为2. 指数函数与对数函数 指数函数 (7.17)在任意有限点均有,因而它在z平面上是保角的.作业：319 9，12，13（1）、（2），14.