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1、 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系. 一、空间点的直角坐标 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 空间两点间距离公式 二、空间两点间的距离 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量：模长为0的向量. | |向量的模：向量的大小. 单位向量： 一、向量的概念 或 或 或 自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. 向径：空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. 1 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、
2、向量的加减法 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） 2 减法 三、向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律 ： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量. 一、空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 空间一点在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量的投影定理（1） 证 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量
3、在同一轴上投影相等； 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） 二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标： 向量的坐标表达式： 特殊地： 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 关于数量积
4、的说明： 一、两向量的数量积 定义 数量积也称为“点积”、“内积”. 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数 ： 若 、 为数： 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 数量积的坐标表达式 定义 关于向量积的说明： / 向量积也称为“叉积”、“外积”. 二、两向量的向量积 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数 ： 向量积还可用三阶行列式表示 / 由上式可推出 补充 例如， 定义 设 混合积的坐标表达式 三、向量的混合积 关于混合积的说明： (1)向量的混合积是一个数量. 一、曲面方程的概念 曲面方程的定义： 以上
5、几例表明研究空间曲面有两个基本问题 ： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状 （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 播放 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线
6、旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕
7、其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴 解 圆锥面方程 或
8、 例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程 旋转双曲面 旋转椭球面 旋转抛物面 播放 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面
9、的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线.
10、定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动
11、直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 / 轴 双曲柱面 / 轴 抛物柱面 / 轴 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面
12、的交线. 特点： 一、空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程 消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 三、空间曲线在坐标面上的投影 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线,面上的投影曲线, 空间曲线在 面上的投影曲线 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量 一、平面的点法式方程 平面的点法式方程 法向量 已知点 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二、平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况：
13、 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. 三、两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： / 点到平面距离公式 定义空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 一、空间直线的一般方程 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量 / 二、空间直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 令 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的
14、方向余弦. 直线的参数方程 直线方向向量 直线上一点 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 三、两直线的夹角 两直线的位置关系： / 定义直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角 四、直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： / 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 一、基本内容 （一）椭球面 椭球面与 三个坐
15、标面 的交线： 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成 旋转椭球面与椭球面的区别： 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 （二）抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕它的轴 旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上. （ 与 同号） 双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： 设 图形如下： x y z o （三）双曲面 单叶双曲面 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上. （2）用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 实轴与 轴相合， 虚轴与 轴相合. 双叶双曲面 x y o