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第二节 正定二次型,一、正定二次型的概念,二、正(负)定二次型的判定,一、正(负)定二次型的概念,则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；,则称f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；,设有实二次型,如果对任何,为正定二次型,为负定二次型,例如,二、正(负)定二次型的判别,推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 特征值全为正,推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 各阶顺序主子式全为正，即,对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶 顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,正定矩阵具有以下一些简单性质,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导,定理2之证明,充分性,故,必要性,故,