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1、1,第三节 矩阵的秩,主要内容,矩阵的秩的概念；,初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵 的秩的求法；,矩阵的秩的基本性质.,基本要求,理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理；,掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；,知道矩阵的标准形与秩的联系；,知道矩阵的秩的基本性质.,2,一、k 阶子式,例如,是 的一个2阶 子式， 的2阶子 式共有 个.,一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个.,3,二、矩阵的秩,定义,设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵的秩，记作 或 .,规定：零矩阵的秩等于0.,例1 求
2、矩阵 和 的秩.,4,在 中，容易看出一个2阶 子式,的3阶子式只有一个,因此,因此,这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式,5,说明,根据行列式的展开法则知，在 中当所有 阶子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；,矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；,当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则,当矩阵 中所有 阶子式都为0，则,6,对于 阶矩阵 ，当 时， 称为满秩 矩阵；否则称为降秩矩阵.,由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当 时， 所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称
3、降秩矩阵.,7,四、矩阵的秩的计算,定理1,若 ，则,即两个等价矩阵的秩相等.,说明,根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.,证明略,8,解,析：根据定理1，为求 的秩，只需将 化为 行阶梯形矩阵.,9,所以,大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换,10,再求 的一个最高阶非零子式.,因此,在 中,找一个3阶非零子式是比较 容易的，另外注意到， 的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式,11,说明,最高阶非零子式一般是不唯一的.,上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.,12,解,析：这
4、是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数 的值的题目.一般有两个途径，一是用定义；二是用初等变换.当 时， 的3阶 子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面 用初等变换解答此题.,13,因为 ，故,即,说明,此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.,14,分块矩阵的概念,用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操 作”称为对矩阵进行分块，每一个小块称为子块；这 样处理矩阵的方法称为分块法；,矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.,说明,分块矩阵只是形式上的矩阵；,分块法的优越之处是：,把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.,矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可
5、利 用它的特殊结构，使运算简化.,可为某些命题的证明提供方法.,15,例如,得到4个子块：,以这些子块为元素，于是，得到 的按照这种 分法的分块矩阵：,这是一个形式上为 的分块矩阵,16,对 还可以进行其它分法，如下面的两种分法：,17,五、矩阵的秩的性质,若 为 矩阵，则,特别地，当b为列向量时，有,即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 超过所有子块的秩之和.,18,矩阵的秩的性质,（下章）,19,例4 设 为 矩阵， 为 矩阵， 证明,证,根据性质7，有,而 为 阶矩阵，所以,关于矩阵的秩的性质的证明题,20,关于矩阵的秩的性质的证明题,例5 设 为 阶矩阵，证明,证,因为,由性质6，有,21,六、小结,矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数 定义的；,矩阵的秩的求法：,根据定义，求最高阶非零子式的阶数，,根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用 初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩 阵的行数就是矩阵的秩；,矩阵的秩的性质.,可逆矩阵的特征刻画：,阶矩阵 可逆,22,