《线性代数第六章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第六章.ppt（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、线性代数,答疑课,本章内容要点,重点难点解读,典型题,第六章 二次型,本章内容要点,二次型,化二次型为标准形,正定二次型的判别,1. 二次型的定义,n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式,n 元二次型的特点：,含有 n 个变量；,是二次齐次多项式：只含有平方项 或交叉 相乘项 ，不含有一次项和常数项,特殊的二次型标准形（只有平方项，无交叉相乘项）,2. 二次型的矩阵表示,其中,称矩阵 A 为二次型的矩阵， 为二次型的秩,3. 合同矩阵,若 A 与 B 合同,由二次型写其矩阵的方法： 先写对角线：平方项的系数写在对角线上； 再写其他：交叉相乘项的系数除以2，一对一对 地写,4. 化二次型为标准
2、形,即寻找可逆的线性变换 使得,标准形,对二次型的矩阵实对称矩阵 A,寻找可逆矩阵 C , 使得,由第五章内容知：实对称矩阵一定正交相似于对角阵,即对实对称矩阵 A，其特征值为 ，则存在正交矩阵Q，使得,5. 化二次型为标准形的方法正交变换法,作正交变换,此时标准形的系数即为A的特征值,6. 化二次型为标准形的规律惯性定理,对同一个二次型化为标准形时，用到的可逆的线性变换不唯一，得到标准形也不唯一,对同一个二次型化得的所有标准形，有以下规律：,系数非零的平方项个数 = 二次型的秩;,正项个数 p 固定，称为二次型的正惯性指数;,负项个数 r-p 固定，称为二次型的负惯性指数;,7. 正定二次型
3、,对 ， ，称 f 为正定二次型，A 为正定矩阵；,对 ， ，称 f 为负定二次型，A 为负定矩阵；,正定矩阵是在二次型的基础上给出的，所以正定 矩阵一定是对称矩阵,8. 正定二次型的充要条件,n元实二次型 为正定二次型,f 的正惯性指数为n,f 所有标准型的平方项系数都大于0,A 的特征值全为正（ A 实对称）,A 的顺序主子式全为正（ A 实对称）,（ A 实对称）,9. 负定二次型的充要条件,n元实二次型 为负定二次型,f 的负惯性指数为n,f 所有标准型的平方项系数都小于0,A 的特征值全为负（ A 实对称）,A 的奇数阶顺序主子式全为正,A 的偶数阶顺序主子式全为负 （A 实对称）,
4、重点与难点解读,正确的写出二次型的矩阵是处理二次型的基础， 它可将二次型问题转化为对称矩阵的问题；,正定二次型和正定矩阵的判别 ,正交变换化二次型为标准形是非常重要的一类题， 因为用到的知识点非常多；,典型题目,1. 写二次型的矩阵,作业集P26，第1题,例,方法：先写对角线：平方项的系数写在对角线上； 再写其他：交叉相乘项的系数除以2，一对一 对地写,则,则,2. 正交变换化二次型为标准形,作业集P32，第七题,例,已知二次型,将 f 写成矩阵形式； 用正交变换将 f 化为标准形，并写出所用的正交 变换,解,二次型的矩阵为,下面求实对称矩阵 A 正交相似于对角阵,先求 A 的特征值,所以A
5、的特征值为,再求 A 的特征向量,对 ，求解方程组,这一步可以通过 来验证,所以 对应的特征向量为,这可以代入原方程组验证,由于 不正交，需要对它们正交化,记,这可通过正交的定义来验证,对 ，求解方程组,所以 对应的特征向量为,现在 已经正交，下面将它们单位化,记,可以求它们的模，看是否为1,记,则我们所求的正交变换为,此正交变换将二次型化为,这个标准形平方项的系数就是A的特征值，无需再 计算，但要注意顺序要和正交矩阵相对应,的第一列所对应的特征值,的第二列所对应的特征值,的第三列所对应的特征值,作业集P27，第6题,解,3. 含参数二次型,例1,二次型在正交变换下的标准形，其平方项的系数即
6、为A的特征值,已知二次型,经正交变换化为标准形 ，试求参数 及 所用的正交变换,二次型的矩阵为,由题目中标准形 知 A 的特征值为,由 得：,因为 A 的特征值为0,1,2，所以0,1,2为上式的根，,代入求得,求解相应的方程组，可得 A 的特征值,所对应的特征向量分别为,它们已经两两正交，分别将它们单位化得,因为实对称，所以的不相等的特征值对应的特征向量应该两两正交,记,则我们所求的正交变换为,写正交变换时需要注意：因为标准形已给，即特征值 的顺序已定，要根据标准形平方项（即的特征值） 的顺序排列,的系数所对应的特征向量,的系数所对应的特征向量,的系数所对应的特征向量,作业集P37，第1.6
7、题,例2,设二次型,解,先写出二次型的矩阵,由前面复习知，二次型的秩即为二次型的矩阵的秩,方法一,因为,所以,所以,方法二,因为 ，所以对 A 进行初等行变换求秩,4. 判断二次型的正定性,作业集P33，第1.6题,例,解,方法：对于具体的二次型判断正定性，都是用顺序 主子式的方法（而且这是一个充要条件）,f 为正定二次型，则 A 为正定矩阵，其充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于0,设二次型 ，则 f 为 正定二次型的充要条件是 t 满足,先写出二次型的矩阵,A 的各阶顺序主子式为,或,联立上述三式得交集,所以 f 为正定二次型的充要条件是,5. 正定矩阵的充要条件,n元实二次型 为正定二次型,f 的正惯性指数为n,f 所有标准型的平方项系数都大于0,A 的特征值全为正（ A 实对称）,A 的顺序主子式全为正（ A 实对称）,