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1、结构力学,第十五章 结构的稳定计算,1. 两类稳定问题的基本概念,薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。,结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课程只讨论静力稳定问题。,例如图示刚架，当荷载达到临界值时，受微小干扰将失稳,又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题,刚性小球平衡状态,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,随遇平衡状态,结构平衡状态的分类,根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类：,稳定的平衡状态外界干扰消除后结构能完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。,不稳定平
2、衡状态外界干扰消除后结构不能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。,经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。,根据受力状态,稳定问题分类：,1. 完善体系：,理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形,完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定。,分支点失稳,失稳前后平衡状态的变形性质发生变化,结构,2. 非完善体系,受压杆有初曲率或受偏心荷载，为压弯联合受力状态,极值点失稳,失稳前后变形性质没有变化,突跳失稳,由受压变成受拉，系统产生翻转,突跳失稳的力-位移关系示意图,突跳失稳,稳定问题的分析方法,在稳定分析中，
3、有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论：,线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时的实验结果有较大偏差。,非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响，其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复杂。,由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正比，叠加原理适用。,2.简单结构稳定分析,1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定问题的特征，确定临界荷载的方法静力法。,在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠加原理不再适用。,2-1-1) 分析步骤
4、 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。,2-1) 分支点稳定静力法,2-1-2）例一 试用静力法分析图示结构，求临界荷载。,稳定方程,按静力法，线性与非线性理论所得分支点临界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。,非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使AB杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的荷载（ 增加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚假的现象。,小 结,例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临界荷载F
5、Pcr。已知：k1=k, k2=3k。,设体系发生如下的变形,取BC为隔离体，由MB=0, 得,或,再由整体平衡MA=0, 得,因为y1、y2不能全部为零，因此,将k1 、k2 代入（3）式，展开后得,由上式可求得：,因此,代回式（1）或（2）的失稳形态为,2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的FPcr为,求 解 的 例 子,如何转换成弹性支承中心受压柱？ k1=？,2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方法,边界条件是什么？,根据形常数,如何转换成弹性支承中心受压柱？ k1=？,边界条件是什么？,如何转换成弹性支承中心受压柱？ k=？,边界条件是什么？,如何转换成弹性支承中心受压柱
6、？ k1=？ k2=？,边界条件是什么？,可见简单结构中受压杆件的稳定分析，主要是要将杆件简化为相应的弹性支撑的单杆问题。,实际工程结构的稳定性分析复杂得多，一般进行计算机分析。,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,随遇平衡状态,能量取极小值,2-2) 分支点稳定能量法,2-2-1)刚性小球的稳定能量准则,能量取极大值,能量取驻值,与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支点失稳问题中，临界状态的能量特征为：,首先引入两个定义。,定义：应变能V加外力（外荷载）势能VP为体系的总势能，记作V。,2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则,定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称为外力势能，记作V
7、P。,体系总势能V 取驻值。,下面讨论由此特征确定临界荷载的方法能量法。,2-2-3) 能量法分析步骤,(1)设定一种满足位移约束条件的可能失稳变形状态（也称失稳构(位)形）；,(2)计算体系的应变能V、外力势能VP，从而获得总势能V= V+ VP；,(3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析的特征方程；,(4)由特征方程解得临界荷载。,例1. 求图示有初偏离角 体系的的临界荷载,2-2-4) 能量法举例,可能失稳,分析受力,FN如何求?,变形能V,外力势能VP,体系的总势能V=V +VP,如何计算?,应变能等于外力功.,根据定义可得,由体系的总势能的驻值条件得：,则：,如果 = 0：,令：,To
8、 41,令：,得：,因此,为求极值,1,设：,跳 转,当按线性理论计算时， 是微量，,线性理论计算结果比非线性理论计算结果大，因而是偏于危险的。,To 38,不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是不利的。,非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一结果与实际吻合。,小 结,在线性理论（ 微小）前提下， 是单调增加的，不存在极值点。,非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确定。,设：,例2. 求图示一端固定一端自由简支梁的临界荷载。,满足 位移 约束 条件,变形能V,外力势能VP,体系的总势能V=V +VP,由体系的总势能的驻值条件得：,因为a 0 则：,返 回,以图示柱为例，取隔离体列弯矩方程得,利用边界条件：,解方程可得,稳定方程,返 回,可得,试总结中心压杆 稳定分析的要点,