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1、名校名 推荐 2019 届北师大版（文科数学）计数原理 (2) 单元测试(时间 :90 分钟满分 :120 分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ) 1.( x3+x 2+x+ 1)(y2+y+ 1)( +1)展开后的不同项数有()A.9 项B.12项C.18 项D.24 项解析 :分三步 : 第一步 ,从 (x3+x 2+x+ 1)中任取一项 ,有 4 种方法 ;第二步 ,从 (y2 +y+ 1)中任取一项 ,有 3 种方法; 第三步 ,从 ( + 1)中任取一项有 2 种方法 .根据分步乘法计数原理得
2、共有432= 24 项 .答案 :D2.下列等式不正确的是() ABC-= 25D-解析 :由组合数的运算性质知 := 25,故 C 不正确 ,而 A,B,D 正确 .答案 :C3.某城市的街道如图,某人要从 A 地前往 B 地 ,则路程最短的走法有 ()A.8 种B.10 种C.12 种D.32 种答案 :B4.将 7 名 生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2 名 生 ,那么互不相同的分配方案共有() A.252 种B.112 种C.70 种D.56 种解析 :分两类 : 甲、乙两间宿舍中一间住4 人、另一间住3 人或一间住5 人、另一间住 2 人,所以不同的分配方案共有= 352+
3、 212= 112 种 .答案 :B5.满足 a,b -1,0,1,2, 且关于 x 的方程 ax2+ 2x+b= 0 有实数解的有序数对 (a,b)的个数为 ()A.14B.131名校名 推荐 C.12D.10解析 :当 a= 0 时 ,方程 2x+b= 0,则 b 为 -1,0,1,2 都有解 ;2有 数解 ,则2当 a0 时 ,若方程 ax + 2x+b= 0= 2 -4ab 0,即 ab1.当 a=- 1 时,b 可取 -1,0,1,2.当 a= 1 时 ,b 可取 -1,0,1.当 a= 2 时 ,b 可取 -1,0,故 足条件的有序数 (a,b)的个数 4+ 4+ 3+ 2= 13
4、.答案 :B6.若 x+x2+ + xn 能被 7 整除 ,则 x,n 的 可能 ()A. x= 4,n= 3B. x=4,n= 4C.x= 5,n= 4D.x= 6,n= 5解析 :由于x+ x2+ + xn= (1+x )n-1,分 将 A,B,C,D中的 代入 知, 有 C 适合 .答案 :C7.用 0,1, ,9 十个数字 ,可以 成有重复数字的三位数的个数 ()A.243B.252C.261D.279解析 :构成所有的三位数的个数 = 900,而无重复数字的三位数的个数 =648,故所求个数 900-648= 252,应选 B.答案 :B8.在 x(1+x )6 的展开式中 ,含 x
5、3 的系数 ()A.30B.20C.15D.10解析 :含 x3 的 是由 (1+x )6 展开式中含x2 的 与 x 相乘得到 ,又(1+x)6 展开式中含x2 的 的系数 = 15,故含 x3 的系数是 15.答案 :C9.设 (1+x+x2)n=a 0+a 1x+ +a 2nx2n,则 a2+a 4+ +a 2n 的 ()A.3 nB.3n -2-DC解析 :令 x=0,得 a0= 1;令 x=- 1,得 a0-a1+a 2-a 3+ +a 2n= 1;n令 x=1,得 a0+a 1+a 2+a 3+ +a 2n = 3 ,n+ 得 2(a0+a 2+ +a 2n)= 3 + 1,故 a
6、0+a 2+a 4+ +a 2n=,-再由 得 a2+a 4+ +a 2n=答案 :C2名校名 推荐 10.从正方体ABCD-A 1B1C1D 1 的 8 个 点中 取4 个作 四面体的 点,可得到的不同四面体的个数为()A-12B-8C-6D-4解析 :在正方体的6 个面和 6 个 角面中 ,每个面上的四个点不能构成四面体.答案 :A二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.如 所示 一 路 ,若只 合一条 路 ,从 A 到 B 共有条不同的 路可通 .解析 :按上、中、下三条 路可分 三 ,上 路中有3 条 ,中 路中有一条 ,下 路中
7、有22= 4 条.根据分 加法 数原理 ,共有 3+ 1+ 4= 8 条不同的 路 .答案 :812.甲、乙、丙3 人站到共有 7 的台 上 ,若每 台 最多站2 人,同一 台 上的人不区分站的位置, 不同的站法种数是.(用数字作答 )解析 :可分 :第一 ,7 台 上每一 只站一人, 有种 ;第二 ,若有一 台 有2 人 ,另一 有 1 人 , 共有种 .因此共有不同的站法种数是= 336.答案 :33613.若的展开式中 x4 的系数 7, 数 a=.解析 :的通 x8-r ar( -)r=arx8-r-ar- - ,令 8-r-= 4,解得 r= 3.a3= 7,得 a=答案 :14.
8、- 2 + 4-817.+ + (-2)=解析 :原式 = (1-2)1717= (-1) =- 1.答案 :-115.若 4 名 生和 3 名教 站在一排照相, 其中恰好有2 名教 相 的站法有.(用数字作答 )3名校名 推荐 解析 :从 3 名教 中任取2 名作 一个整体排列,共有种方法 ,然后排 4 名 生共有种方法 ,把 2 名教 成的整体和另外一名教 安排在4 名 生隔成的五个空中,有种排法 ,故共有不同的站法种数 = 2 880.答案 :2 880 种三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 集合 M= -2,-1
9、,0,1,2,3, P(a,b)是坐 平面上的点,a,bM.(1) P 可以表示多少个第四象限内的点?(2) P 可以表示多少个不在直 y=x 上的点 ?解 :(1)分两步 ,第一步确定横坐 有 3 种 ,第二步确定 坐 有 2 种 ,根据分步乘法 数原理得点的个数 N= 32= 6.(2)分两步 ,第一步确定横坐 有 6 种,第二步确定 坐 有 5 种 ,根据分步乘法 数原理得点的个数 N= 65= 30.17.(8 分) 球台上有 4 个黄球、 6 个 球 , 黄球入袋 2 分 , 球入袋 1 分 .求将此 10 球中的 4 球 入袋中 ,但 分不低于 5 分的 球方法有多少种 ?解 :
10、入黄球x 个 , 球 y 个符合要求 . 有解得或或或 每 解 (x,y), 球方法数分 ,所以不同的 球方法种数 = 195.18.(9 分) 有大小、形状、 地相同的6 个球 ,其中 3个一 的黑球 , 、白、 球各 1 个 , 从中取出 4个球排成一列 ,共有多少种不同的排法?分析 可按取 1 个、 2 个、 3 个黑球 行分 求解 .解 :分三 :(1)若取 1 个黑球 ,和另三个球排4 个位置 ,不同的排法种数 = 24;(2)若取 2 个黑球 ,从另三个球中 2 个排 4 个位置 ,2 个黑球是相同的 ,自 入 ,不需要排列 ,即不同的排法种数 = 36;(3)若取 3 个黑球 ,
11、从另三个球中 1 个排 4 个位置 ,3 个黑球是相同的 ,自 入 ,不需要排列 ,即不同的排法种数 = 12. 上 ,不同的排法种数 24+ 36+12= 72.nn+ 119.(10 分 )求 :(1)4 6 + 5-9 是 20 的倍数 (nN );(2)3n-2n n2n-1(n N ).-5+ 1)+ 5( 4n+ 4n- 明 (1)46n+ 5n+ 1-9= 4(5+ 1)n+ 5(4+ 1)n-9= 4( 5n+ 5n-1+ +1+ +-4n-1+ 4n- 2+ +-4+ 1)-9= 20( 5n- 1+ 5n-2 + +)+ (), 故 成立 .(2)3n-2n n2n-1?
12、3n n2n-1+ 2n= 2n-1(n+ 2),当 n= 1 时 ,式左 = 31= 3,右 = 21 -1(1+ 2)=3,3n= 2n-1(n+ 2).4名校名 推荐 当 n2 时 ,3n= (2+ 1)n= 2n+2n- 1+ 2n-2+ + 2n+n 2n-1= 2n- 1(2+n ). 上 , 一切 nN ,不等式nn- 1nnn-13 2 (2+n )成立,即 3-2 n2 (n N )恒成立 .20.(10 分 )已知的展开式中前三 的系数成等差数列.(1) 求 n 的 ;(2) 求展开式中系数最大的 .分析 可用通 公式写出前三 的系数,利用等差中 的性 即可求出n 的 ; 所 系数最大的 ,即只要某一 的系数不小于与它相 的两 的系数即可, 是由二 式系数的增减性决定的.解 :(1)由 意 ,得= 2,即 n2-9n+ 8= 0, | |X|X|解得 n= 8,n= 1( 舍去 ).(2) 第 r+ 1 的系数最大 ,则-即-解得 r= 2 或 r= 3.所以系数最大的 T3= 7x5 ,T4 = 75