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1、名校名 推荐第 2 课时等 差 数 列一、 填空题1. 在等差数列 a n 中， a5 33，公差 d 3，则 201 是该数列的第 _项答案： 61解析： a n a5 (n 5)d ， 201 33 3(n 5) ， n61.2. 已知 a n 为等差数列， a1 a3 a5 105， a2 a4 a6 99，则 a20 _答案： 1解析： a 1 a3 a5 105，即 3a3 105，解得 a3 35，同理 a2 a4 a699，得 a433. d a4 a3 3335 2， a 20 a4 (20 4)d 3316( 2) 1.3. 在等差数列 a n 中，已知 a2 a8 11，则
2、 3a3 a11 的值为 _ 答案： 22解析： 3a3 a11 a3 a3 a3 a11 a3a2 a4 a11 a3 a2 a7 a8 2(a 2 a8) 11222.4. 若等差数列 a n 的前 5 项和 S5 25，且 a4 3，则 a7 _答案： 35（ a1a5）解析： S5 25? 25? a35，所以 d a4a3 2，a7 a4(7 4)d 3 6 2 3.5. 在等差数列 a n 中， a1 7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时， Sn 取最大值，则 d 的取值范围是 _7答案： 1d0， a90，7 8d0，即 1d .86.若等差数列 a n 满足
3、a7 a8 a9 0，a7 a10 0，则当n _时， a n 的前n项和最大答案： 8解析：由等差数列的性质，得 a7 a8a9 3a8， a8 0，又 a7 a10 0，所以 a8 a90，所以 a9 0，所以 S8 S7，S8 S9，故数列 a n 的前 8 项和最大7.若一个等差数列a 的前 3 项和为 34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，n则这个数列有 _项答案： 13解析： a1 a2 a3 an 2an 1 an 34 146 180，所以 3(a 1 an) 180，即 a1an 60.n（ a1 an） 390，所以n60390，解得 n 13.由 S 39
4、0，知n228. 记等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn. 已知 a1 2，且数列 Sn 也为等差数列，则a13 的值为 _答案： 50解析：数列 S 为等差数列， 得S S 2S ，即 26 3d24 d，则 d 4，n132a13 a1 12d 50.S31S69. 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，若 S6 3，则 S12 _3答案： 10S3a 3d1S解析： 由等差数列的求和公式可得31 ，可得 a 2d，且 d0，所以6S6a 15d1S136126a1 15d27d 312a1 66d90d 10.1m10.在等差数列 a n 中，a2 5，a6 21，记数列an
5、的前 n 项和为 Sn，若 S2n 1 Sn 15对1名校名 推荐n N 恒成立， 正整数m的最小 _答案： 511解析：由 a2 5， a6 21 易得等差数列 a n 的通 公式 an4n 3，所以 an 4n3. 故S2n 1 Sn 1 1 1 1 1.a2n 1a2na2n 1an 2 an 1设 Tn S2n 1 Sn， Tn 1S2(n 1) 1 Sn 1S2n 3 Sn 1，所以 Tn 1 Tn (S2n 3 Sn1) (S 2n 1 Sn) (S 2n 3 S2n 1) (S n1 Sn) 1 1 1 111a2n 3a2n 2an 14（ 2n3） 34（ 2n2） 34（
6、n 1） 311111121 8n 9 8n 5 4n 18n 2 8n 2 4n 1 8n 2 4n 10.所以 T T 0，即 TT . 故 T S S 随 n 的增大而减小，所以若SS 15对n 1nn1nn2n1n2n1nmn N 恒成立， 即 (S S )111114 m 14m14S S a3 a2 9545 15. 由 4515得 m 3 ，所以正整2n 1nmax31数 m的最小 5. 二、 解答 11. 在等差数列 a n 中， a11， a3 3.(1) 求数列 a n 的通 公式；(2) 若数列 a n 的前 和 S 35，求 的 解： (1) 等差数列 a n 的公差
7、d，由 a1 1， a3 3，可得 12d 3，解得 d 2.从而 an1 (n 1) ( 2) 3 2n.(2) 由(1) 可知 an3 2n.所以Snn1 （ 3 2n） 2n n2.2由 S 35，可得 2 2 35，即 2 2 35 0，解得 7 或 5. 又 N ，故 7.12.设 a ， d 数，首 a ，公差 d 的等差数列 a 的前 n 和 S ， 足 S S11nn5 615 0.(1)561若 S 5，求 S 及 a ；(2)求 d 的取 范 解：(1) 由 意知6156655a1 10d 5，a1 7，S S5 3，aS S 8，所以 a1 5d 8， 解得 d 3，因此
8、 S6 3， a1 7.22(2)因 S S 150，所以(5a 10d)(6a 1 0.1 15d) 15 0，即 2a 9da10d56111故 (4a 19d) 2 d2 8，所以 d2 8. 故 d 的取 范 是d 2 2或 d2 2.13. 在等差数列 a n 中，公差 d 0，前 n 和 Sn， a2 a345， a1 a518.(1) 求数列 a n 的通 公式Snc，使数列 b 也 等差数列？若存在，(2) 令 b n c(n N) ，是否存在一个非零常数nn求出 c 的 ；若不存在， 明理由解： (1) 由 ，知 a n 是等差数列，且公差d 0，a2a3 45，（ a1d）（ a12d） 45，a1 1， 由得解得d 4.a1 a5 18，a1（ a1 4d） 18， a n 4n3(n N ) 2名校名 推荐n（ 1 4n 3）2n n1n22Sncn c.(2) 由 b n cn1 c 0， 可令 c ，得到 bn2n. 2 b n 1 bn 2(n 1) 2n2(n N ) ， 数列 b n 是公差为 2 的等差数列1即存在一个非零常数c 2，使数列 b n 也为等差数列3