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1、4.3.2空间两点间的距离公式,1.了解空间两点间的距离公式的推导过程和方法. 2.掌握空间两点间的距离公式. 3.能够应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.,空间两点间的距离 (1)公式：已知空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 |P1P2|=_. (2)特殊情况：空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为 |OP|=_.,1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”). (1)点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为a.() (2)空间两点间的距离公式与两点顺序有关.() (3)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是
2、1.() (4)在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴的距离分别等于相应坐标的绝对值.(),提示：(1)错误.点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为 |a|. (2)错误.空间中两点间的距离与两点的顺序无关. (3)正确. (4)错误.在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的 距离分别是 答案：(1) (2) (3) (4),2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)已知A(-1,2,3),B(-1,4,-2),则|AB|=. (2)已知A(-2,1,m),B(-2,2,0),若|AB|=1,则m=. (3)点M(2,-3,5)
3、到x轴的距离是.,【解析】(1) 答案： (2)因为 所以1+m2=1,所以m=0. 答案：0 (3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)， 所以 答案：,空间两点间的距离公式 观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为,探究1：观察公式,探究以下问题 (1)空间两点间的距离公式有何特征? 提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的算数平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么关系? 提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标
4、.,探究2：结合空间两点间的距离公式,探究式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2的几何意义是什么? 提示：式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2表示两点P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)距离的平方.,【拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义 空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离 当 OP为定值时, =r(r0)的几何意义是以原点O为球心, 以r为半径的球面.,【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明 (1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定理推出的. (3)
5、公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.,类型 一 空间两点间的距离公式 尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间 距离的步骤. 1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于 ( ) 2.设点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.,【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.,【解析】1.选B.因为点B坐标为(0，2，3)， 所以 故选B. 2.设P(a,0,0)
6、,因为|PP1|=2|PP2|, 所以 所以a2+2+9=4(a2+1+1), 所以a=1,即P(1，0，0)或P(-1,0,0).,【互动探究】若题2中“点P在x轴上”换为“点P在z轴上”其 他条件不变，其结论又如何呢？ 【解析】设P(0,0,c),因为|PP1|=2|PP2|, 所以 所以2+(c-3)2=4(1+c2+2c+1), 所以 所以P(0,0, )或P(0，0， ) .,【技法点拨】利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤,【变式训练】在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)， B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的 坐标是_. 【解题指南】设出M点坐
7、标，利用|MA|=|MB|列式求解. 【解析】设M(0,b,0),则由|MA|=|MB| 得 解得b=-1.即M的坐标是(0，-1，0). 答案：(0,-1,0),类型 二 空间两点间距离公式的应用 通过解答下列与两点间距离公式应用有关的题目,试总结两点间距离公式在几何上的应用. 1.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC的形状为 () A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,2.如图,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,M为BD的中点,点N在AC上,且|AN|=3|NC|,试求|MN|.,【解题指南】1.先利用空间两点间距离公
8、式求出三角形的三边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状. 2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后根据题目中的条件求出点M，N的坐标，最后利用空间两点间距离公式即可求出|MN|.,【解析】1.选C. 因为|AB|2=|AC|2+|BC|2, 又|AB|，|AC|，|BC|两两不等， 所以ABC为直角三角形，故选C.,2.以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,a), D(0,0,a).由于M为BD的中点，取AC的中点O,所以,因为|AN|=3|NC|,所以N为AC的四等分点, 从而N为OC的中点，故 根据
9、空间两点间的距离公式，可得,【技法点拨】两点间距离公式在几何中的应用 (1)求立体几何中线段长度问题 建系：将立体图形放在空间直角坐标系中. 定坐标：在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐标. 定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长. (2)判断三角形形状 利用两点间距离公式求三边长. 结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.,【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. (2)充分利用几何图形的对称性.,【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1,且SA底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的
10、点P,使得SPD是直角?,【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0). 设P(1,x,0)(0x2), 所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2 =x2+2, PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2 =(x-2)2+1, SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.,因为SPD是直角, 所以SP2+PD2=SD2, 即x2+2+(x-2)2+1=5, 所以x2-2x+1=0, 解得x=1.因此边BC上存在异于B,C的点P,使得SPD是直角.,1.点A(3，6，1
11、)与B(5，3，-1)的距离是( ) 【解析】选C.|AB|,2.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，AB的中点M，则 |CM|=( ) 【解析】选C.由于AB的中点M的坐标为 ,则,3.在空间直角坐标系中,已知点P(a,b,c)满足方程(x+2)2+(y- 1)2+(z-3)2=3,则点P的轨迹是() A.直线 B.圆 C.球面 D.线段 【解析】选C.由题意,动点P到定点(-2,1,3)的距离为定值 , 所以点P的轨迹是球面.,4.已知A(2，5，-6)，点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是 ( ) A.(0，8，0) B.(0，2，0) C.(0，8，0)或(0
12、，2，0) D.(0，-8，0) 【解析】选C.因为点P在y轴上，所以可设P(0,b,0), 因为|PA|=7，A(2，5，-6)，所以 解得b=2或b=8.,5.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点 A(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长等 于. 【解析】 所以对角线|AC1| 设棱长为x,则3x2= 所以 答案：,6.如图,在宽、长、高分别为2,4,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中,利用空间两点间距离公式,求对角线AD1,AB1和AC1的长.,【解析】以D为坐标原点,DA,DC和 DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建 立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,3), B1(2,4,3),C1(0,4,3). 所以,