单元教材分析一元二次方程.docx

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1、单元教材分析一元二次方程年级任教教师班级班级人数教材内容1本单元教学的主要内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题2本单元在教材中的地位与作用一元二次方程是在学习一元一次方程、 二元一次方程、分式内 方程等基础之上学习的， 它也是一种数学建模的方法 学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程 ,也是初中数学的重点 .容本章的知识结构一元二次方程的概念一元二次方程的解法开分平方法因式分解法配方法公式法析一元二次方程的应用ax2+bx+c=0（a0）可直接化成 x2 =p（p0）或（ mx+n） 2=p（ p0）的一元二次方程）bb24ac 叫做一元二

2、次方程 ax2（ ）的求根公式x=2a+bx+c=0a 02的两根 x1x2 x1bx1 x2c；ax +bx+c=0x2aa教学重点1一元二次方程及其它有关的概念2用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程3利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题教学难点1一元二次方程配方法解题2用公式法解一元二次方程时的讨论3一元二次方程根的判别式.4.一元二次方程根与系数的关系5.建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别教材地位及知识间内在联系一元二次方程是初中数学的基础内容，在初中数学中占有重要地位，学习和运用一元二次方程不仅综合运用了以前所学的多方面的知识，同时

3、也为进一步的学习和应用打好基础。所以，本章知识的学习在整个代数中起承前启后的作用。 它既是对已学过的知识实数、整式、分式和一次方程、方程组、不等式知识的巩固和深化，又是为今后学习二次函数、二次不等式等内容奠定了基础。学情分析初中阶段是智力发展的关键年龄， 学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。 从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬， 所以在教学中应抓住学生这一特点， 一方面要运用直观生动的生活实例， 激发学生的兴趣， 使他们的注意力始终集中在课堂上； 另学一方面要创造条件和机会，让学生发表见解， 发

4、挥学生学习的主动性。 促进学生个性发展。 从认知基础上看， 学生已经学习了一元一次方程、 平方生 根、因式分解等知识， 为本章的学习奠定了基础。 学生在利用方程解决实际问题的过程中， 会发现仅用这些知识是不能够解决的， 因此迫切的需要分一元二次方程这个解决问题的工具。学生学习时应注意的地方析 1一元二次方程教学的重点是对方程的一般形式的认识和对方程解的理解并为后续通过转化求方程解奠定思想基础。2一元二次方程的解法本节是本章的核心内容，主要是一元二次方程的各种解法。其中的一元二次方程的配方法和应用一元二次方程知识理解应用问题是重点，而这两个重点又是教学过程中的难点。 一元二次方程的解法， 尤其是

5、公式法是学好本章的关键。因此，本节又是全章的重点，是学好本章的基础。关于一元二次方程根与系数的关系， 实际上，求根公式就体现了根与系数的关系，由于课程标准中没有涉及， 但这部分内容对于今后的学习是很重要的，在教学中可以作为探索性学习的内容， 让学生自己进行探索并得出结论。3一元二次方程的应用列方程解应用问题，前面一元一次方程的应用已学习过相关的知识，但是列一元二次方程解应用题仍然是难点， 其原因是数量关系比较复杂且隐蔽；应用题所反映的实际背景比较复杂而学生又不太熟悉； 所列方程也逐步复杂。主观上学生一开始受算术解法思维的定势影响， 缺乏广泛的社会经济生产和生活以及相关学科方面的知识， 理解文字

6、语言和数学语言等方面的能力较差。其中方程应用题求解，大体上都是这样六个步骤：审题，理解题意，明确题中涉及几个量， 有几个是已知量， 有几个是未知量， 它们之间有什么关系等等；设元，根据题目要求，选择合适的未知数，又分为直接设元法、间接设元法。同时还要考虑设几个未知数为宜；列式，分析题目中量与量的关系， 关键是找出题目中的相等关系，这时，要注意挖掘题目中的那些隐蔽的相等关系， 有时，又要辅之使用图示法、 列表法等一些直观手段；求解；检验，既要检验得到的解是否符合原方程或原方程组，又要检验所得的解对实际问题是否有意义；作答，写出正确合理的答案。在教学中可以结合问题解决的策略，让学生主动参与， 自主

7、建构和合作学习，体会数学建模的基本思想与方法。教学目标1知识与技能了解一元二次方程及有关概念； 掌握通过配方法、 公式法、因式分解法降次解一元二次方程； 掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题2过程与方法教（1）通 丰富的 例， 学生合作探 ，老 点 分析，建立数学模型 ?根据数学模型恰如其分地 出一元二次方程的概念学 （2） 合八册上整式中的有关概念介 一元二次方程的派生概念，如目 二次 等（3）通 掌握缺一次 的一元二次方程的解法直接开方法， ? 入标 用配方法解一元二次方程，又通 大量的 巩固配方法解一元二次方程（4）通 用已学的配方法解 ax2+

8、bx+c=0（a0） 出解一元二次方程的求根公式，接着 求根公式的条件： b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0（5）通 例探索一元二次方程的根与系数的关系.（6）通 复 八年 上册整式的第 5 因式分解 行知 迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用 巩固它（7）提出 、分析 ，建立一元二次方程的数学模型， ?并用 模型解决 3情感、 度与价 由事 中抽象出一元二次方程等有关概念的 程， 使同学 体会到通 一元二次方程也是刻画 世界中的数量关系的一个有效数学模型； 用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的 程，使同学 体会到 化等数学思想； 置丰富的 情景， 使学生体会到建立

9、数学模型解决 的 程，从而更好地理解方程的意 和作用，激 学生的学 趣 安排22.1 一元二次方程2 课时其中：一元二次方程的概念1 课时22.2 一元二次方程的解法7 课时其中：开方法、配方法2 课时公式法2 课时因式分解法解一元二次方程2 课时根与系数的关系1 课时223 一元二次方程的 用2 课时小 2 课时本本章体 的数学思想方法章体本章从内容上看是初中代数的重点，从数学思想方法方面来看， 也是初中数学中比 全面体 的一章。1方程的思想现方程本身就提供了一种重要的数学思想方法， 一点在一元二次方程中体 的更 充分。 学 方程不 一步学 其他知 打下基 ， 不 的可用于解决一些 ， 而且

10、在更广泛的意 上 ， 通 方程可以沟通数 已知与未知之 的 系， 从而由解方程就可以使 得以解决，通常称之学 方程思想。方程思想作 一种数学思想，在数学 展史上有重要作用，思 求解数学 来 也有重要的意 。2公式解法想一元二次方程的公式解法在数学思想方法上有重要意 。首先，公式方法是人 所知的多次方程的第一种公式 (根式 )解，它 以后 行公式解的法研究开辟了道路， 并且是引起近似代数的起源 之一， 在数学的学 中也有重要意 ； 其次，公式法解体 了数学中的算子的思想，将数学 行抽象化、符号化、程序化， 是数学 展的重要的途径。3分 的数学思想一元二次方程求根公式中，涉及开方 ，即 要 施开平

11、方，而前面已 学 数没有平方根。因此 的状 就决定了一元二次方程根的状 。必 的符号 行 。分 的数学思想是一种极 重要的数学思想方法，教材中 = 的三种分 含在 堂教学之中，通 “想一想” 学生自然地得到 ， 降低由于数学思想上的要求所 来的学 上的 度， 是一种合理的 理方法。 上，判 式的 是不解方程而 方程的根 行定性研究的重要指 。 在研究二次函数的 象和性 等方面有重要意 ， 在研究二次曲 的 有重要地位。 判 式 上是利用方程的系数研究方程的性 ， 是一种以局部研究探求具体性 的方法。找一种关 性的数量关系去定性地研究一 象， 也是一种常 的数学思想方法。4转化 (化归 )的数学

12、思想在本章中更突出地表示出 “转化” 的思想方法。 如利用因式分解法解一元二次方程就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程。严格地说，转化的思想是数学中认识和掌握新知识的重要途径，掌握这种方法， 可以提高学生的数学能力， 拓展学生数学知识。 如换元法就是一种很重要的转化思想，这在本章也有不少的体现。因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念， 针对九年级学生的年教 龄特点和心理特征， 结合他们的认知水平， 采用探索学习的方式， 以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法；教学中力求体现“问题学 情景 -数学模型 - 概念归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限， 所以，

13、本节课借助多媒体辅助教学， 指导学生通过策 观察直观形象的演示， 从具体的问题情景中抽象出数学问题， 建立数学方程，同时学生在现实的生活情景中， 经历数学建模， 经过自主探索和合作略 交流的学习过程， 产生积极的情感体验， 进而创造性地解决问题， 有效发挥学生的思维能力。1一元二次方程本节包括一元二次方程的概念、 因式分解法解一元二次方程， 这一单元是本章的基础， 教材两个问题中引入了一元二次方程的概念， 一个问题是学生所熟悉的正方形和长方形的面积， 另一个问题是从报纸上公布的统计数据，教学的重点是对方程的一般形式的认识和对方程解的理解， 在此基础上，引入用因式分解法求一元二次方程解的方法，

14、将这种解安排在此处，其目的是为了加强学生对学习方程目的的理解， 并为后续通过转化求方程解奠定思想基础。2一元二次方程的解法本节是本章的核心内容， 主要是一元二次方程的各种解法。 其中的一元二次方程的配方法和应用一元二次方程知识理解应用问题是重点， 而这两个重点又是教学过程中的难点。 一元二次方程的解法， 尤其是公式法是学好本章的关键。因此，本节又是全章的重点，是学好本章的基础。一元二次方程的解法，课本介绍了四种，即直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法。直接开平方法适用于 （ b 0）模式的方程。实际上，给出的一般方程只要存在实根，就可以用配方法转化为 的形式。例如，课本中将方程 转教化为

15、，因此配方法是直接开方法的延伸，而直接开平方法是配方法的基础。在配方法解一元二次方程的基础上， 很自然地推出一元二次方程的求根公式，实际上就是对一般形式 （a0)的一元二次方程实施配方法的结果。学对于三种解法，公式法可以是一种“万能”方法，只要 = 0，将系数 a， ，的 a0b c 代入公式即可求解。在教学中注意一元二次方程中的条件。在配方时应强调方程两边同时加上 “一次项系数之半的平方” 或在左端加上 “一次项系数之半的平方” 再减去“一次项系数之半的平方” ，实质上是方程的一种同解变形， 这是必须反复训练方可达到学生熟练进行配方的目的，它也是推导求根公式的基础。对 = 的讨论，首先要渗透

16、分类讨论的思想，另外，对 = =0 的情实 况，一定要强调有两个相等的实根： 这与方程根的理论一致， 学生开始会认识只有一根，要反复强调，以纠正这种不正确的或说是不严密的结论。对 = 0 的情况，不能说成方程无解，而应强调方程无实数根或在实数范围内无解，强调数域是为今后在高中讨论有复根的情况埋下伏笔。 理论上的证明见教师用书。关于一元二次方程根与系数的关系， 实际上，求根公式就体现了根与施 系数的关系，由于课程标准中没有涉及， 但这部分内容对于今后的学习是很重要的，在教学中可以作为探索性学习的内容， 让学生自己进行探索并得出结论。3一元二次方程的应用列方程解应用问题，前面一元一次方程的应用已学

17、习过相关的知识，但是列一元二次方程解应用题仍然是难点， 其原因是数量关系比较复杂且隐蔽；应用题所反映的实际背景比较复杂而学生又不太熟悉； 所列方程也逐步复杂。主观上学生一开始受算术解法思维的定势影响， 缺乏广泛的社会经济生产和生活以及相关学科方面的知识， 理解文字语言和数学语言等方面的能力较差。对于求解应用题， 若从思想方法角度来看， 列方程解应用题属于数学模型法，其中方程应用题求解，大体上都是这样六个步骤：审题，理解题意，明确题中涉及几个量，有几个是已知量，有几个是未知量，它们之间有什么关系等等；设元，根据题目要求，选择合适的未知数，又分为直接设元法、间接设元法。同时还要考虑设几个未知数为宜

18、；列式，分析题目中量与量的关系， 关键是找出题目中的相等关系，这时，要注意挖掘题目中的那些隐蔽的相等关系，有时，又要辅之使用图示法、 列表法等一些直观手段； 求解； 检验， 既要检验得到的解是否符合原方程或原方程组，又要检验所得的解对实际问题是否有意义；作答，写出正确合理的答案。 在教学中可以结合问题解决的策略，让学生主动参与， 自主建构和合作学习，体会数学建模的基本思想与方法。教学支撑环境教室其他学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程）教学程序（略）创设情境-导入新课-新授-巩固练习-学生质疑-学生小结-布置作业提问通过观察、演示，你知道直线和圆有几种位置关系？讨论一轮红日从海平面升

19、起的照片新授给出相交、相切、相离的定义。类比复习点与圆的位置关系，讨论它们的数量关系。通过类比，从而得出直线与圆的位置关系的性质定理及判定方法。巩固练习例1，出示例题例1在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有什么样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm;(3)r=3cm由学生填写下例表格。直线和圆的位置关系公共点个数圆心到直线距离d与半径r关系公共点名称直线名称图形补充练习的答案由师生一起归纳填写教学小结直线与圆的位置关系，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。然后老师在多媒体打出图表。本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。教学评价可评价的学习要素直线和圆的位置关系、数量关系，当堂测试,