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1、第二节 数项级数审敛法,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,显然有,例如,发散,Sn,证,3.比较审敛法,收敛，则其部分和有上界M,M,即 的部分和数列有上界,例如,证,证明,推论 若 ，则有相应的性质 .,(保大弃小),解,由 单调递减知,重要参考级数: 等比级数, P-级数.,用保大弃小法选参考级数.,4. 积分判别法：,设 f (x) 是 1 , ) 上的单减非负连续函数 . unf (n) , n1，2，3,相加 ，得,即,因此 Sn 有界 .,又 f (x) 非负 , 因此 关于 n 单增，,所以 收敛 .,若 收敛 , 即
2、 存在 ,因此 有界 ,例:用积分判别法验证p-级数的收敛性.,5.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,例如:证明 Euler 数 是存在的 .,证明,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,注意:,解,比值审敛法失效, 改用极限审敛法,级数收敛.,7.根式审敛法 ( Cauchy 判别法 ):,例5 讨论级数 的敛散性 .,解,当0 x e 时级数收敛 ; 当 x e 时发散 .,当 x e 时 , 注意到 单增 ,级数发散.,例6 证明,考虑级数,判别正项级数敛散性的步骤:,用比值审敛法或根值审敛法; 以P-级数为参考级数,用比较审敛
3、法; 通项 ,级数发散; 以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法; 看部分和Sn是否有上界; 用Cauchy收敛原理; 用定义,求和s.,解,二、交错级数及其审敛法,定义,即：正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,部分和数列为 Sn,设首项u1 0,即级数,这仍然是一个满足Leibniz收敛条件的交错级数,定理证毕.,若首项-u1 0,则由线性,解,原级数收敛.,自己做：证明 收敛 .,三、绝对收敛与条件收敛,例如:,是绝对收敛的.,对任意的 x , 是绝对收敛的.,证明,注意:该定理的逆命题不成立 . 例如,全体级数分为:,发散级数,收敛级数,绝对收敛,条件收敛,解,故由定理知原
4、级数绝对收敛.,五、小结,判别一般项级数敛散性的步骤:,对通项取绝对值后,用比值审敛法或根值审敛法; 对通项取绝对值后,以P-级数为参考级数,用比较审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 通项 ,级数发散; 对通项取绝对值后,以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 用Cauchy收敛原理; 用定义,求和s.,四、绝对收敛级数的性质,定理1 对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次 序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和 相同 .,注意: 对条件收敛级数不成立 . 例如,经重排 , 可能会发散 ; 即使收敛 , 其和也未必等于原级数的和 . 即书上的定理.,(无穷和式的交换律),定理2 : 设级数 与 都绝对收敛 ,它们的和分别为 A , B . 则它们各项相乘得到的所有可能的乘积 aibj 按任意次序排列所得到的级数 也绝对收敛 , 且其和为 AB .,(无穷和式的分配律),正方形乘积,对角线乘积,对角线乘积（也称Cauchy积）：,例, 1,所以条件收敛的级数的乘积未必收敛 .,解,由极限审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,思考题,