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1、Chapter 1,多元函数微分学小结,微分法,1、全导数公式,2、偏导数公式,3、一阶全微分形式不变性,4、隐函数的微分法,(3) 方程组情形,确定了两个一元函数.,确定了两个二元函数.,确定了一个以u,v为中间变量 x,y为自变量的二元函数.,定理.,注意:,(3) 利用公式计算复合函数的偏导数时，首先要搞清 楚函数的复合过程, 哪个是自变量， 哪个是中间 变量，通常用树枝图表示.,(4) 对自变量求偏导数时，先要经过一切有关的中间 变量， 最后归结到自变量.,其它情形讨论如下：,两者的区别,区别类似,z,z,z,z,注意:当函数复合后, 最终的自变量只有一个时求全导, 其它情况都得求偏导
2、。,为了记法上方便，常用以下记号：,z,求导过程须注意:,Solution.,Solution.,Solution.,注意,Solution.,注意,法1:,法2:,法1:,法2:,两边对x,y求偏导,并得到对x,y的二阶混合偏导.,法3:,化成z关于x,y的显函数,再求偏导.,Method1.,代入所证等式的左边即可得结论.,Method2.,等式两边对x求偏导得：,代入所证等式左边即可得结论成立.,solution.,solution.,Solution.,方程组两边对x求导得,Solution.,Solution.,微分学的应用,1. 几何上的应用,切向量为:,微分学的应用题,Solution.,Solution.,及法平面方程.,Solution.,切平面方程,法线方程,Solution.,依题意，切平面平行于已知平面，得,Solution.,Solution.,Solution.,由于所给函数关于自变量的对称性， 立即可求出：,例：己知一定量的理想气体的状态方程pV=RT（R为常量），推证热力学中的公式：,Solution.,注：,Solution.,先求一阶偏导数:,再求二阶三阶偏导数:,再求二阶混合偏导数:,先求一阶偏导数:,续,这不是偶然的。,Solution.,由于函数关于自变量的对称性，所以,证：,上面两个例子中的两个方程都叫拉普拉斯方程。,解.,