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1、,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,说明,解空
2、间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则 其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,请归纳利用基础解系求解齐次线性方程 组的步骤。,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,导出组的概念,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多
3、命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法,解,例2 求解非齐次线性方程组,由（2）可得原方程组导出组的同解方程组,对（3）中自由未知量取三组特殊值：,亦即,由例（2）可归纳出求解非齐次线性方程组的步骤：,对增广矩阵 B 进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵C 写出C对应的原方程组的同解方程组 确定自由未知量，对自由未知量取零值得到一个特解 利用C写出导出组的同解方程组得到导出组的基础解系 利用特解和基础解系写出通解,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系., 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,