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6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构,下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系.,(1)如果u1是Ax=b的一个解,v1是Ax=0的 一个解,则u1+v1也是Ax=b的解.,证: Au1=b, Av1=0,故A(u1+v1),=Au1+Av1,=b+0,=b,(2)如果u1,u2是Ax=b的两个解, 则u1-u2是Ax=0的解.,证:Au1=b, Au2=b,故A(u1-u2),=Au1-Au2,=b- b,=0,定理1 若u1是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解,v是齐次线性方程组Ax=0的全 部解,则u=u1+v是Ax=b的全部解.,证:由关系(1)知u是Ax=b的解.,反之,对Ax=b的任一解u2,要证明u2一定 可以写成u1与Ax=0的某个解之和.,取 v1=u2-u1,由关系(2)知 v1是Ax=0的解,而 u2=u1+v1,即Ax=b的任一解是u1与Ax=b的某一个 解之和.,例2 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,