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1、正项级数比值判别法的一个典型例题及变化 例例 1 判断下列级数的收敛性。 1 ! 2n n n n n 1 ! 3n n n n n 1 ! n n n n e n 解：解：因为 1 lim n n n a a 1 1 1 ! 2 lim ! 2 1 n n nn n nn n n 2 lim 1 n n n n n 22 lim1 1 1 n n e n 由比值判别法知，级数 1 ! 2n n n n n 收敛。 因为 1 lim n n n a a 1 1 1 ! 3 lim ! 3 1 n n nn n nn n n 3 lim 1 n n n n n 33 lim1 1 1 n n e
2、 n 由比值判别法知，级数 1 ! 3n n n n n 发散。 因为 1 lim n n n a a 1 1 1 ! lim ! 1 n n nn n nen n e n lim 1 n n n en n lim1 1 1 n n ee e n ， 比值判别 法失效。下面另求它法。 方法一：方法一： 令 ! n n n n e a n ，则 1n n a a 1 1 1 ! ! 1 n n nn nen n e n 1 n n en n 1 1 1 n e n ，得 11 2 nn aaa ，2,3,n 即数列 n a单调递增，所以 lim0 n n a ，由收敛级数的必要条件知， 1 !
3、n n n n e n 发散。 方法二：方法二： 令 ! n n n n e a n ， 由斯特林公式： ! lim2 n n n n e nn 可得 lim n n a ! lim n n n n e =n nn 0 由收敛级数的必要条件知， 1 ! n n n n e n 发散。 由此例题，我们联想到下面的例题。 由此例题，我们联想到下面的例题。 例 2 判断级数 1 ! n n n n n e 的收敛性。 解：令 ! n n n n a n e ，由斯特林公式： ! lim2 n n n n e nn 可得lim 1 n n a n lim ! n n n nn = n e 20， 而 1 1 nn 是 1 2 p 的p级数，发散。 由正项级数的比较判别法知， 1 ! n n n n n e 发散。 进一步，容易想到下面的变化，可以练习思考求解。 进一步，容易想到下面的变化，可以练习思考求解。 例 3 判断下列级数的收敛性。 1 ! 2 n n n n n 1 ! 3 n n n n n 例 4 判断级数 1 ! n n n n a n 的收敛性，其中0a 。 例 5 判断级数 1 ! n n n n n a 的收敛性，其中0a 。