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1、年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 求数列的通项公式-构造等差（比）数列求数列的通项教学目的 掌握通过构造等差或等比数列来求数列的通项公式的方法教学内容【知识梳理】1、等差数列的通项公式及其推导方法2、等比数列的通项公式及其推导方法【典型例题分析】1、利用待定常数法（也是最常考的一种方法）例1、已知数列n 中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,). 求数列的通项公式n.分析：若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列n+x。解：设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比较
2、系数得：x=-2 n+1-2=3(n-2)数列n-2是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列 n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2. 说明：给出一阶递推关系式形如 (n=1,2,),A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。变式练习1：已知中且求此数列的通项公式.解：，则.与进行比较，可得t=1， 则有.设，则有.是以为首项，2为公比的等比数列 ，例2、已知数列n 中，前n项和sn = 2n-3n, 求数列的通项公式n.分析：已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：n -2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n- x=2(n-1- x),从而可构
3、造等比数列。解：1=s1=21-3 则1=3，当n2时， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,设其可恒等变形为：n- x=2(n-1- x)，即 n -2n-1=x ,比较系数得：x=2. n- 2=2(n-1- 2 )数列n- 2是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。 n- 2=（-3）2n-1 n=2-3.说明：对于型如n=An-1+f(n)（A为常数）的一阶递推关系式。可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：n- xg(n)=An-1- xg(n-1),若x存在,则可构造等比数列 n- xg(n)。 变式练习1：已
4、知数列中，=， （n2），求.解：将原递推式化作： ， 则 两式相减得 数列是以首项为，公比为的等比数列.=， 又 =.变式练习2：设数列求数列的通项公式解析：，两边同除以，得令，则有于是，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而2 、利用配方法有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。例3、设n0，1=5，当n2时，n+n-1=+6, 求数列的通项公式n。分析：给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性，变形为：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7.解：由n+n-1=+6（n2
5、）变形为： 2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2） 数列 是以(1-3)2=4为首项，公差为7的等差数列 =4+7（n-1）=7n-3，而n0 n=+3说明：递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法，揭示规律，构造等差（比）数列。3、利用因式分解有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。例4、已知数列n 是首项为1的正项数列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求数列的通项公式n。分析:由已知递推关系式，若配方，则无法配成完全平方或完全平方项之和。因此考虑用因式分解化简，寻求更实质的关系。可变形为：n+
6、1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。解：由已知有：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0（n+1 + n）（n+1 + 3）-2n=0，而n0 n+1 + 3 -2n=0，则利用待定常数法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0数列n -3是以1-3=-2为首项，公比为2的等比数列。n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n 说明：因式分解能达到化简的目的，使递推关系式简化，凸显规律性。变式练习：设是首项为1的正项数列，且，（nN*），求数列的通项公式.解：由题设得. ，. 4 、利用对数有些数列的递推关系式看起来比较复杂，但通过取对数变行
7、后，往往能构造出简单数列（如等差、等比数列），揭示规律。例5、 设0,如图，已知直线L:y=x及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为1(0 10）。解：令，则=5， 0，从而= 由已知递推关系式有： 化简得：=（）2 2=， 由待定常数法得：2（-3）= -3 数列-3是以-3=2为首项，公比为的等比数列。 -3=2（）n-1 即 = + 3 = (n1)说明：对于递推关系式中较难处理的根式（比如不能反映相邻项的规律性），可采用换元去掉根式，化简递推关系式，揭示相邻项的变化规律，构造等比（差）数列。变式练习：设=1，=（nN）,求证： 分析：比较已知与结论，应先求通项公式。待证的不等式中含
8、有p，且已知递推关系式中含有，据此两个信息，考虑进行三角代换，化简递推关系式。证明：由已知0，引入数列使=tan,(0,)由已知有：=即=，又=1，从而 即数列是以为首项，公比为的等比数列 = = ， 而当x(0,)时，有tanxX= tan说明：对于递推关系式中，型如可考虑采用三角代换，化简递推关系式，揭示规律性。总之，构造等比（差）数列关键在于抓住递推关系式的结构特征，选择恰当方法进行恒等变形，往往能揭示等比（差）规律，顺利求出通项。【课堂小练】1、数列中，且，（nN*），求通项公式an.解： （nN*）2、数列中，前n项的和，求.解： ， 3、设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.
9、解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列，.，4、已知数列中，n2时，求通项公式.解：，两边取倒数得. 可化为等差数列关系式. 5、已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn+1Sn，得，最小正整数n=15【课堂总结】等差数列或等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是高考考查的热点.而主要考查学生分析问题和解决问题的能力
10、，这个能力往往集中在“转化”的水平上.也就是说，把不同的递推公式，经过相应的变形手段，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.【课后练习】1、设为等差数列的前项和，若，则 。解析：填15. ,解得，KS*5U.C#2、已知数列满足则的最小值为_. 【答案】【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以
11、，的最小值为3、设为等比数列的前项和，则（ ）（A）11 （B）5 （C） （D）解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题4、设数列的前n项和，则的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64【解析】，A【方法技巧】直接根据即可得出结论.5、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、答案：D6、设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。