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1、第十一章 多元函数微分学练习题11.11已知，求：（1）；（2）解：（1）将代入求得；（2）将代入求得2求极限解：因为当时，且，故(无穷小与有界量之积)3求函数的定义域，并画出定义域的图形解：函数应满足，即函数的定义域为（）其图形是一个不包括内圆边界（半径是）及包括外圆边界（半径是）的圆环（图略）练习题11.21 已知，求，解：因为，所以，2 已知，求，解：因为，所以，故，3 若，求，解：将视为常量，由幂函数的求导法则有；再将视为常量，由指数函数的求导法则得练习题11.31已知圆柱体体积（是圆柱底面的半径，是圆柱的高），写出体积的改变量的近似计算公式解：因为，所以有2设函数，试用两种方法求解：
2、方法一：直接应用微分法则方法二：应用全微分公式，因为，故3求函数当时的全增量和全微分解：；练习题11.41 设方程确定了函数，求，解：记，则，2 设方程确定了是的隐函数，求解：方程两边分别对求导，得）解出得，3若具有一阶连续偏导数，已知函数，画出其链式图，并写出其求偏导数的公式 解：图11.17因为，画出复合关系的链式图（如图11.17所示）得；练习题11.51 求曲面，在点处的切平面方程与法线方程解：设，则，在点处有， ，故切平面的方程为即，所求的法线方程为2 求空间曲线：，在点处的切线方程与法平面方程解：在点处，所以，所求切线方程为所求法平面方程为即3 求螺旋线在对应于的点处的切线方程及法
3、平面的方程解：由于所求切线的方向向量为s，)所求的切线方程为法平面方程为练习题11.6 求函数的极值解：由得到，求出驻点，且，故在点处函数有极小值 求函数的极值解：由得到，求出驻点又，由极值的充分条件知：在点处，函数取得极大值3用拉格朗日乘数法求：长为，宽为的长方形的面积的极大值假设约束条件是解：设拉格朗日函数为，解方程组得，从而求得显然由问题本身的意义知，函数有极大值，且驻点又是唯一的，故为条件极值且为极大值练习题11.7 把一个正数表示为三个正数之和，并且使它们的乘积最大，求这三个正数解：设这三个正数为，由于，所以，所以问题转化为求函数在区域：，上的最大值问题解方程组，得驻点，前面三个驻点
4、不在内，又函数且连续，当点在内分别趋向，时（即在的边界上），函数，所以点必为最大值点此时，得即当三个正数相等时，它们的乘积最大2从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形解：设直角三角形两直角边之长分别为，则周长本题是求在条件下的条件极值，作拉格朗日函数令，由前两式得，代入最后一式，于是，是唯一的驻点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边这长为的一切直角三角形中，周长最大的是等腰三角形3已知单位的某种注射剂在注射后小时的效应可按下式计算（）其中是某一常数试确定和的值使最大解：分别对和求导，并另导数为零，得求得惟一驻点为，所以当时最大习题十一1求下列函数值：
5、（1）已知，求，；（2）已知，求解：（1）将所给点和的坐标分别代入函数，可以求得，；（2）将点的坐标代入函数可求得2已知，求解：令，解得，于是，所以3求下列函数的定义域，并画出定义域的图形（1）； （2）解：（1）若使函数有意义，应满足，即定义域为（），（2）由对数、分式、根式函数的意义，函数应满足，即定义域为（），4求下列极限：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）5求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）； （4）解：（1）；（2），（3），（4），6设，求证解：因为，所以7已知，用两种方法求解：解法一，故解法二因为，所以另外，还可以用偏导数的定义直接求解8曲线，在点处的切线对于轴
6、的倾斜角是多少？解：由偏导数的几何意义，就是曲线在点处的切线对于轴的斜率，而，即，于是倾斜角9在由电阻和电阻并联的电路中，总电阻，求证 解：因为，同理可求得所以10求函数，当，时的全微分解：由函数得当，时的全微分为11求下列函数的全微分：（1）； （2）； （3）解：（1）因为，所以（2）因为，所以（3）因为，所以12已知边长为与的矩形，如果边增加而边减少，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解：矩形对角线的长为，当，时，即这个矩形的对角线的长减少了大约13利用多元复合函数的求导法则，求解下列问题:（1）设,而,求，（2）设，而，求（3）设，而，求解：（以下解答“链式图”均略去，请同学们自己画
7、出） （1）（2）（3）14.设，而，验证解：证故等式成立15求下列函数的一阶偏导数（其中具有连续的一阶偏导数）：（1）；（2）解：（1）将中间变量依次编号为，则，（2）令，则，（注：本题也可类同上个题解答，不必设），16求下列隐函数的导数或偏导数：（1）设，求； （2）设，求，解：（1）设，则，得（2）设，则则，得，17设，其中具有二阶导数，求，解：令，则记，18求曲线，在点处的切线与法平面方程解：点所对应的参数曲线在该点处的切向量n于是曲线在给定点处的切线方程为，法平面方程为即19求曲面在点处的切平面与法线方程解：令，则n，n点处的切平面方程为即点处的法线方程为20在平面上求一点，使它到，及三直线的距离平方和为最小解：设所求点为，则此点到三直线的距离依次为：，三距离平方之和为由 ,求得唯一的驻点，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，故所求点即为15