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1、2011/10/05探索數學規律實作評量舉例吳柏萱1，朱啟台2，陳瑋伯3，曾政清4，李吉彬5，陳昭地61國家教育研究院/專案助理2教育部高中數學學科中心/助理3台灣師範大學數學研究所碩士班4臺北市立建國高級中學/數學科教師5國立台中第一高級中學/數學科教師6台灣師範大學/數學系教授一、前言評量(1)是使用科學的方法與技術，蒐集有關學生學習行為及其成就的可靠資料，依據預先擬定的教學目標，就學生學習表現情形，加以分析、研究與評估等動態過程。在教學流程中(如下表1)，具有承接轉合的關鍵性角色與回饋的功能。學前評估教學目標教學活動評量表1教學流程表評量依時機可分成診斷性評量、形成性評量與總結性評量，與
2、評量相關的術語有：高分組、低分組、難易度、鑑別度、五標(頂標、前標、均標、後標、底標)等。至於評量的方式則有：口頭問答、上台板演、紙筆測驗、實作評量等；本文著重於數學科總結性評量的紙筆測驗，而依現今常用的測驗題型有單選題、多選題、選填題及非選擇題(計算證明題)，各有其命題方法，均非易事，但肯定是數學科教師急切瞭解，甚至希望儘快達到精熟的技術。尤其限於特殊選才目的(含數學科教師甄選)無疑地適切的口試題很適合使用操作型實作評量，即使段考或大考的非選擇題題型，設計成一個簡潔新穎的操作型實作評量試題，也是能夠被接受的良好典型試題。底下依1980年代Maryland州發展的實作評量測驗(2)，給出操作型
3、實作評量定義：它是一種評量的方式。就適當的數學主題，針對形成該主題的主要數學概念，配合周遭的情境，使用適切的工具或描述，從事一系列的操作，以完成評量核心目標或相關目標。接著仿照Maryland州所發展提供八年級國中生正方體積木，表面著色拆開成個小立方塊，找出各面著色數的個數之規律，設計一個長方體積木的推廣性並適用於一般程度高一學生的數學科操作型的實作評量例題，並引用臺灣師範大學附屬高級中學第一屆科學班數學科資格考一道矩陣考題，設計成找出方陣乘方的規律性實作題，最後改編100年指考數學甲一道微積分的選填題C。事實上一般的數學科多選題已具備操作型實作評量的雛型，可輕易地改編成符合於原測驗目標的新穎
4、實作評量題，而選填題或計算證明題，也多能經過審慎研究原測驗目標後，發展成匹配原測驗目標，且針對適當的施測對象之實作評量題。二、作業壹：探索數學規律先備知識：1. 2.實施時間：高一上第一次定期考後探索數學規律活動一小方塊是一種立方體的小積木，一般人很喜歡拿小方塊來堆疊成各種立體圖形。現在請你從小方塊堆疊出的立體圖形中，探索一些數學規律。（我們可將小方塊的邊長當作1）步驟1.請你用小方塊堆成一個邊長為的正方體，並假想在正方體的表面塗油漆後再拆開(如圖1)，並完成小方塊個數之表格(表2)。圖1拆開後的正方體表2小方塊個數被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到
5、0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80008步驟2.請你用小方塊堆成一個邊長為的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖2)，並完成小方塊個數之表格(表3)。圖2拆開後的長方體表3小方塊個數被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊840012步驟3.請你用小方塊堆成一個邊長為的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖3)，並完成小方塊個數之表格(表4)。圖3拆開後的長方體表4小方塊個數被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊880016
6、步驟4.請你整理前面各活動的資料完成小方塊個數之整理表格(表5)，並找尋一些數學規律，以預測堆成邊長為的長方體(如圖4)塗油漆後再拆開的情形。圖4邊長為的長方體表5小方塊個數整理表格小方塊個數3個面被塗色的小方塊個數2個面被塗色的小方塊個數邊長為的正方體880邊長為的長方體1284邊長為的長方體1688邊長為的長方體20812邊長為的長方體中，有2個面被塗色的小方塊個數是多少？12個。請問你找出來的規律是什麼？每多一層就多出4個。請繼續完成小方塊個數之整理表格(表6)。表6小方塊個數整理表格1個面被塗色的小方塊個數未塗色的小方塊個數邊長為的正方體00邊長為的長方體00邊長為的長方體00邊長為的
7、長方體00步驟5.活動一的最後，請預測堆成邊長為，l為大於或等於2的整數，的長方體(如圖5)，塗油漆後再拆開的情形，並完成小方塊個數之表格(表7) (以表示)。圖5邊長為的長方體表7小方塊個數之表格(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊800探索數學規律活動二小方塊是一種立方體的小積木，一般人很喜歡拿小方塊來堆疊成各種立體圖形。現在請你從小方塊堆疊出的立體圖形中，探索一些數學規律。（我們可將小方塊的邊長當作1）步驟1.請你用小方塊堆成一個邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開
8、(如圖6)，並完成小方塊個數之表格(表8) (以表示)。圖6拆開後的長方體表8小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊800步驟2.請你用小方塊堆成一個邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖7)，並完成小方塊個數之表格(表9) (以表示)。圖7拆開後的長方體表9小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80步驟3.請你用小方塊堆成一個邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體，
9、並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖8)，並完成小方塊個數之表格(表10) (以表示)。圖8拆開後的長方體表10小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80步驟4.請你整理前面各活動的資料完成小方塊個數之整理表格(表11) (以表示)，並找尋一些數學規律，以預測堆成邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體(如圖9)塗油漆後再拆開的情形。圖9邊長為的長方體表11小方塊個數整理表格(以表示)小方塊個數3個面被塗色的小方塊個數2個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體8邊長為的長方體8邊長為的長方體8邊長為的長
10、方體8邊長為的長方體中，有2個面被塗色的小方塊個數是多少？4(l-2)+(5-2)個。 請問你找出來的規律是什麼？每增加一層多4個。請繼續完成小方塊個數之整理表格(表12及表13)。表12小方塊個數整理表格(以表示)1個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體0邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體中，有1個面被塗色的小方塊個數是多少？ 2l(5-2)個 請問你找出來的規律是什麼？ 每增加一層多出2l個 表13小方塊個數整理表格(以表示)未塗色的小方塊個數邊長為的長方體0邊長為的長方體0邊長為的長方體0邊長為的長方體0步驟5.活動二的最後，請預測堆成邊長為，m,l為大於或等於2的整
11、數的長方體(如圖10)，塗油漆後再拆開的情形(表14)(以表示)。圖10邊長為的長方體表14小方塊個數之表格(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80探索數學規律活動三小方塊是一種立方體的小積木，一般人很喜歡拿小方塊來堆疊成各種立體圖形。現在請你從小方塊堆疊出的立體圖形中，探索一些數學規律。（我們可將小方塊的邊長當作1）步驟1.請你用小方塊堆成一個邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖11)，並完成小方塊個數之表格(表15) (以表示)。圖11拆開後的長方體表15小
12、方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊802ml步驟2.請你用小方塊堆成一個邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖12)，並完成小方塊個數之表格(表16) (以表示)。圖12拆開後的長方體表16小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊83ml步驟3.請你用小方塊堆成一個邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖13)，並完成小
13、方塊個數之表格(表17) (以表示)。圖13拆開後的長方體表17小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊84ml步驟4.請你整理前面各活動的資料完成小方塊個數之整理表格(表18) (以表示)，並找尋一些數學規律，以預測堆成邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體(如圖14)塗油漆後再拆開的情形。圖14邊長為的長方體表18小方塊個數整理表格(以表示)小方塊個數3個面被塗色的小方塊個數2個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體2ml8邊長為的長方體3ml8邊長為的長方體4ml8邊長為的長方體5ml8邊長為的長
14、方體中，有2個面被塗色的小方塊個數是多少？ 4(m-2)+(l-2)+(5-3)個 請問你找出來的規律是什麼？ 每增加一層多4個 請繼續完成小方塊個數之整理表格(表19)。表19小方塊個數整理表格(以表示)1個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體中，有1個面被塗色的小方塊個數是？2 (m-2)(l-2)+3(m-2)+3(l-2)個。請問你找出來的規律是什麼？每增加一層多出2(m-2)+(l-2)個。請繼續完成小方塊個數之整理表格(表20)。表20小方塊個數整理表格(以表示)未塗色的小方塊個數邊長為的長方體0邊長為的長方體邊長為的長方體邊長
15、為的長方體邊長為的長方體中，未塗色的小方塊個數是多少？ (5-2)(m-2)(l-2)個 請問你找出來的規律是什麼？ 每增加一層多出(m-2)(l-2)個 步驟5.活動三的最後，請預測堆成邊長為，n,m,l為大於或等於2的整數的長方體(如圖15)，塗油漆後再拆開的情形(表21) (以表示)。15邊長為的長方體表21小方塊個數之表格(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊8特別的，正方體積木之立體圖(圖16)及對應著色之表格(表22)圖16邊長為的正方體表22小方塊個數之表格(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到
16、2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊8所以的正方體積木，表面著色後拆開著3面有 8 小塊；著2面的有 36 小塊；著1面的有 54 小塊；6面都沒著色的有 27 小塊，共 125 小塊。結論：(核驗下列乘法公式)邊長為，n,m,l為大於或等於2的整數的長方體：0面1面 2面3面+8特別的，當n=m=l時為正方體1面0面3面2面 三、作業貳：找出三階方陣乘方的規律(3)實施對象：高二學過矩陣中高程度的學生先備知識：三階方陣的乘法知識原題：若矩陣，試問修題：若方陣，n為正整數，試用一般式表的方陣。活動一：寫出方陣活動二：寫出方陣活動三：寫出方陣活動四：
17、請比較，各對應元素的數值，你會發現它們之間的關聯，各對應元素的數值有一個很有意思的規律。請問：這些規律你發現了嗎？全部；部分例如它們的第一行第二列數值有什麼規律利用各元素之間的規律性，試直接寫出：活動五：依序再直接寫出：活動六：那麼你能寫出一般的結果了嗎？活動七：上面的結果適用n=1的情況嗎？活動八：你能用數學歸納法來驗證的正確性嗎？請填寫完成下面矩陣：注：參考答案四、數學科試題改編成實作評量舉例底下另再提出二道出自99學年度高一上學期數學段考試題(4、5)及一道100年指考數學甲的選填題，改編為實作評量題，提供高中數學評量的參考。(一)原題(4)：設二次函數的圖形過一、三、四象限，其圖形如圖
18、17，則下列何者正確？_(1)(2)(3)(4)(5)圖17改編成如下的實作評量題： 主題：設二次函數，其圖形經過第一、三、四象限，但不經過第二象限及原點，則、及等常數之正、負或0如何確定呢？活動1：的二次函數符合原題的條件嗎？不符合；理由：其圖形過第二象限活動2：確定之正、負步驟1：之圖形凹口是向上還是向下？ 向下 步驟2：a之正、負或0可以判定出來嗎？ a 0 活動3：設，其圖形如圖18，判定、及之正、負或0。圖18 步驟1：c之正、負或0為何？ c 0 步驟3：之正、負或0為何？ b2 - 4ac 0 步驟4：之正、負或0為何？ a + b + c = f(1) 0 活動4：設，其圖形如
19、圖19，活動3中的哪些常數之正、負仍然不變？ b、c、b2 - 4ac 圖19活動5(結論)：原實作評量題中哪些常數之正、負可以確定： a 0、c 0 何者無法確定？ a + b + c (它可能正、負或0) (二)原題(5)已知若在範圍內有2個x值使得到最大值，則_這是一道新穎簡易的概念題，很適合充作一般程度的高一上第一次段考的試題，亦可經由下列的方式改編成實作評量題：主題：設，且知在時有2個x值使得到最大值，試確定a，b的關係。活動1：a，b可同時小於3或同時大於3嗎？ 步驟1：能使主題成立嗎？ 不能(此時f(x)只有x = 0一個最大值f(0) = 5) 步驟2：能使主題成立嗎？不能(此
20、時f(x)只有x = 6一個最大值f(6) = 5)。 步驟3：能使主題成立嗎？ 能(此時f(1) = f(5)為最大值) 步驟4(結論)：a，b不可同時小於3也不可同時大於3，對嗎？ 對 活動2：當有多少組整數數對能符合主題的假設呢？ 步驟1：當時，列出所有整數數對，在有2個x值使得到最大值： (2, 4)、(1, 5)、(0, 6) 步驟2：那麼當時有多少組整數數對，在有2個x值使得到最大值： 7組 步驟3：當有多少組整數數對能符合主題的假設呢？ 97組 活動3：有多少組數對，能符合原主題的假設呢？步驟1：當時，b之值為 3.5 步驟2：當時，b之值為 步驟3：有多少組實數對能符合原主題的
21、假設呢？ 無限多組 活動4(結論)：原主題中a，b的關係如何？ a + b = 6 (或a，b為以3為對稱中心的對稱點) (三)原題(100年指考數學甲選填題C)坐標平面上，已知函數的圖形以為切點的切線為，則以切線及曲線為界所圍成區域的面積為 。1213這是一道得分率38%中偏難、高鑑別度71%的三次函數指考數學甲微積分範圍的新穎好試題，以瞭解應用三次函數的陳朱洪性質(6)為目標，可改編成下面難度不一的操作型實作評量題：主題：設三次函數的圖形為，以為切點的切線為L，與圍成的封閉區域為R，則R的面積為何？活動1：考慮，的特例。步驟1：此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為
22、-2 。步驟2：R的面積用定積分可以表示成，且之值為。活動2：考慮，且的情況。步驟1：切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h 。步驟2：此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為。活動3：考慮，且的情況；切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為。活動4：考慮，且的情況；切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為。活動5：當，的情況；此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2 ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為
23、 27 。活動6：當，的情況；此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為 27h4 。活動7：當，的情況；此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為 27h4 。活動8：當，的情況；此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為 27h4 。活動9：當，的情況；此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為 27h4 。活動1
24、0：當，的情況；此時切線L的方程式為；並設L與的另一交點為B，則B的x坐標為 -2h ，此時R的面積用定積分可以表示成，且之值為，一般的情況，、時之值為。活動11：特別情況，時之值為 27 。 活動12：，時之值為 108 ，而，時之值為。 五、結論實作評量可針對特殊的數學甄試來設計，如實驗班、資優班或科學班的試題(含甄選或會考)，另如中小學數學科教師的甄選，由實例可顯現其功能。尤其可就適當的對象，搭配彈性配分的新穎簡易實作評量題，應是好的題型，即使數學大考設計一道答題1015分鐘以內，配分1020分的實作評量題，也可使它形成既有特色又具效率的評量。99年指考數學乙選填題C；100年指考數學甲
25、多選題6與非選擇題一，亦可改編成很有特色的實作評量題，不妨試一試，會發現改編的難度不高而又能大大提昇命題技術，又可增進學生的思考層面，期待數學教師善用實作評量，促進數學教學的正面發展。六、參考資料1.陳昭地(民98)，數學命題技術與探討，98康熹數學報報，http:/.tw/。2.MSPAP(the Marylard School Performance Assessment Program)，教育部84年度國民教育階段學生基本學習成就評量研究計劃報告第20-26頁(85年5月修訂，國立臺灣師範大學出版)。3.國立臺灣師範大學第一屆科學班資格考數學試題(100年8月)4.高雄市立小港高級中學99學年度高一上學期第一次段考數學科試題，http:/mathcenter.ck.tp.edu.tw/。5.臺北市第一女子高級中學數99學年度高一上學期第一次段考數學科試題，http:/web.fg.tp.edu.tw/math/blog/或http:/mathcenter.ck.tp.edu.tw/。6.朱亮儒、洪有情、陳昭地(民99)，三次函數圖形的三個超額特徵，科學教育月刊第335期第21-35頁(99年12月)，國立臺灣師範大學科學教育中心出版。18