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第三讲 二重积分的换元法,内容提要 1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。 教学要求 1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。,复习：二重积分在直角坐标系下的计算,1. 在直角坐标系下二重积分,2.二重积分在直角坐标系下的计算：,扇环的面积 的近似公式：,预备知识：,1. 如图:,1.二重积分的换元法(1),在直角坐标系下计算二重积分时，,必须化为四个小区域来计算，,因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分.这就需要进行变量代换，有如下定理.,下非常烦琐，,相当麻烦。,在某些情况,二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况：,（1）极点 O 在区域 D 的外部,（2）极点 O 在区域 D 的边界上,（3）极点 O 在区域 D 的内部,计算,例1,解,解,计算,计算,例2,解,解,2. 二重积分的换元法（2）,例1,解,例2,解,小 结,一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，,而被积函数中含有 的项时，,二重积分在极坐标下的计算公式,采用极坐标,计算往往比较方便.,基本要求:变换后定限简便，求积容易,（在积分中注意使用对称性）,思考题,思考题解答,