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1、2005年安阳师范学院学报 收稿日期 2004-11 -29 作者简介 戴岩伟 ( 1976-), 男, 河南南阳市人, 安阳师范学院物理系助教, 从事理论物理教学与研究。 浅谈量子力学中算符运算的多种求法 戴岩伟 (安阳师范学院物理系, 河南 安阳 455000) 摘? 要 本文通过举例介绍了几种算符常用运算方法: 直接法、 作用法、 参数微分法、 积分变换法、 待定算符法、 表 象法。 关键词 算符; 波函数; 表象 中图分类号 0413. 1? ? ?文献标识码 A? ? ? ? ? ?文章编号 1671-5330( 2005) 02-0031-02 ? 量子系统的运动状态是用波函数描述
2、的, 但 物理学了解状态靠的是系统在该状态下的性质。 怎样从状态得到物理性质呢? 这涉及到量子理 论里如何描写物理性质或物理量。量子力学假 定: 力学量 (也称观测量 )用线性厄米算符代表。 这样在量子力学里就引入了算符运算。利用算 符可以较好地反映整体特征, 利用它我们可以从 状态 (波涵数 )里提取力学性质, 从而把理论计算 与实验结合起来。而解决或推导算符的关系时, 除了要掌握各有关算符的意义和性质外, 还应了 解一些基本的算符运算方法。下面介绍几种在 解决有关算符问题时常见的运算方法: 1? 直接法 所谓?直接法 ?, 就是算符无需作用于右矢或 波函数上, 而是直接利用算符的定义、 性
3、质、 已知 的对易关系、 对易子代数等来进行运算。 例: 求证 e - i 2?u ? ? = cos ? 2 - i u ? ? ?sin ? 2 证明: 我们知道 ( u ? ? ?) n = 1? ? 当 n是偶数时 u ? ? ? ? 当 n是奇数时 故 e - i 2? u ? ? = ? ? n= 0 1 n ! ( - i 2 ? u ? ? ?) =? n 为偶数 1 n! ( - i 2 ?) n + u ? ? ? ? n为奇数 1 n ! ( - i 2 ?) n = cos ? 2 - i u ? ? ?sin ? 2 2? 作用法 这种方法是将算符或算符函数作用到态矢
4、 (或波函数, 甚至右矢 )上, 用以形成新的态矢或 形成矩阵元, 从而把算符运算转化成矢量或数的 运算, 注意算符作用于其上的态矢必须是任意 的, 或者至少是任意的基矢。 例: 求证 e - i 2?u ? ? = cos ? 2 - i u ? ? ?sin ? 2 证明: ? u? ?是厄密算符, 且 ( ? u? ?) 2 = 1, ? u? ?有两个线性关系的本征矢量, 相应本征值为 ? 1 , 设这两个矢量为 |?+ , |?- 。 ( ? u? ?) |?+ = |?+ ( ? u? ?) |?- = |?- 因而有 e - i 2? u? ? |? = e - i 2?( ?
5、1) |? = ( cos ? 2 ? isin ? 2 ) |? = ( cos ? 2 - i? u? ?sin ? 2 ) |? 所以有 e - i 2? u? ? = cos ? 2 - i? u? ?sin ? 2 3? 参数微分法 这种方法的要点是在所涉及的算符表达式 中引入参数, 例如 , t 通过 t求导 (或微分 )可得一 系列所需关系式, 最后令 t= 1 , 即可得到原算符 表达式所满足的一系列关系式, 也可通过对引入 的同一参数的求导去证明原算符等式的两端均 满足有相同初值条件的同一微分方程。 这里算符 A ( t)对参变量的导数被定义为: dA ( t) dt = l
6、i m ? t? 0 A ( t+ ? t) - A ( t) ? t 且有如下的算符求导法则: d dt(A + B ) = d A dt+ dB dt, d dt( A B ) = dA dtB + A dB dt 例: 求证 e - i 2? u? ?= cos ? 2 - i? u? ?sin ? 2 证明: 设 y ( ?) = e - i 2? u? ? 对 ?求导, 则得 y ?( ?) = - i 2 ? u? ? y ?( ?) 因为 ( ? u? ?) 2 = 1 则有 y ?( ?) = - 1 4 y ( ?) 31 安阳师范学院学报2005年 所以 y ( ?) =
7、( Asin ? 2 + A?cos ? 2 ) + i( Bsin ? 2 + B?cos ? 2 ) 因 y ( 0) = 1 , 故 B?= 0 , A?= 1 有因 y ?( 0) = - i 2 ? u? ? , 所以 A= 0 , B= - ? u? ? 所以原命题得以证明。 4? 积分变换法 涉及较复杂的算符函数 F( A ) 时, 常可使用 积分变换, 把它用算符指数函数 e A表达出来 F(A ) = ?dk? F( k) e ikA, 其中 ? F( K)为普通函数 从而可利用算符指数函数来进行研究。 使用这种方法时也要和参数微分法注意同 样的问题。 例: 求证 A , F
8、( B ) = F?( B ) A , B , 其中 A 与 B 均与 A , B 对易 证明: 令 F( B ) = ? dk? F( k) e ikB 则F?( B )= ? dk? F( k) ( ik) e ikB 则 A , F( B )= ? dk? F( k) A , eikB = ? dk? F( k) ( ik) e ikB A , B = F?( B ) A , B 5? 待定算符法 基本思路是将所要求的算符函数的展开式 写成一系列待定算符得幂级数, 常可引入小参量 以区别各项小量的阶, 然后比较等式两端各阶小 量, 定出待定算符。 例: 设 ?是一个小量, 求算符 ( A
9、 - ? B ) - 1按 ? 的方幂的展开式。 解: 令 (A - ? B ) - 1 = ? ? n= 0? nK n( 1) 两边都左乘 ( A - ? B ) 则 ( 1)式 左边 = 1 , 右边 = ? ? n= 0 ( A - ? B ) ? nK n = A K 0+ ? ? n= 1? n ( A K n- B K n- 1) 比较两边 ?的同方次幂的系数, 得 A k 0= 1 , A k n- B k n- 1= 0 故 k 0= A - 1, k n= A - 1B k n- 1 由此知 ( A - ? B ) - 1 = A - 1 + ? A - 1 B A - 1
10、 + ? 2A- 1 B A - 1B A - 1 + ? 6? 表象法 这种方法是通过选取适当的表象或通过表 象变换得到合适的表象, 进而把算符运算转化为 适当的矩阵运算或矩阵元 (数 )的运算。通常, 应 尽可能地选择问题中所涉及算符的对角表象 (自 身表象 )。在 A 为对角的表象中, F( A )由元素 F ( ak)的对角矩阵表示, 其中 ak是 A 的本征值。 例: 求证 e - i 2? u? ?= cos ? 2 - i? u? ?sin ? 2 证明: 选 ? u? ?的自身表象 因 ( ? u? ?) 2 = 1 , 其本征值 ? = ? 1则 ? u? ? 1? 0 0?
11、- 1 , e - i 2? u? ? e - i 2? ? 0 0?e i 2? = cos ? 2 - isin ? 2 ? 0 0? ?cos ? 2 + isin ? 2 = cos ? 2 1? 0 0? 1 - isin ? 2 1? 0 0?- 1 ?cos ? 2 - i? u? ?sin ? 2 上面所介绍的各种算符运算方法都有各自 的特点, 我们在运用时应该掌握其各自的内涵。 在遇到一些具体的算符问题时, 可能会有多种方 法都能解决问题, 这样就要求我们综合考虑, 灵 活运用, 选择最为简洁的方法进行处理解决。 参考文献 1周世勋. 量子力学教程 M . 高等教育出版社,
12、1979. 2钱伯初, 曾谨言. 量子力学习题精选与剖析 (第二版 ) M . 科学出版社, 1999. 3曾谨言. 量子力学 M . 科学出版社, 1997. 4喀兴林. 高等量子力学 (第二版 ) M . 高等教育出版 社, 2001. 5 Sakurai J J. Modern Quantum M echanicsM . The Ben - jia m in Cumm ings Publishing Co mpany , 1985. On SomeKinds ofOperatorOperationM ethods in QuantumMechanics DAIYan- wei ( Phy
13、sics Depart m ent ofAnyang Teachers College, Anyang 455000 , China) Abstract : This text is through introducing the daily operationm ethod of several kinds of operators for exam- ple : Directm ethod,function method,parameter differentiation method ,integral transformationsmethod, undeter m ined operator method,representation method . Key words : Operator ; wave- function; representation (责任编校: 弘扬 ) 32