数学里的钟表问题钟面角.docx

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1、钟表问题“钟面角”日常生活中,我们几乎每天都要看钟表,然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角(即“钟面角”)问题可能并没有在意.其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识,我 们一起来探究一下“钟面角”问题吧.一、认识“钟面角”要分析钟面角,我们首先要结合其图形特点,寻找并发现它们的变化规律.钟表的表面特点:钟表的表面都是一个圆形,共有 12个大格,每个大格间有 5个小 格.圆形的表面恰好对应着一个周角 360 ,每个大格对应30角,每个小格对应6角.表 面一般有时针、分针、秒针三根指针.钟表时针、分针、秒针的转动情况:时针每小时转1大格,每12分钟转1小格,每12个小时转1个圆周;分针每5分

2、钟转一大格,每1分钟转1小格,每小时转1个圆周; 秒针5秒钟转1大格,每1秒钟转1小格,每1分钟转一个圆周.时针、分针、秒针的转速:有了以上的认识,我们很容易计算出相应指针的转速:钟表的时针转速为:30 /小时或。/分钟;分针的转速为:6 /分钟或。/秒钟;秒针的转速为:6 /秒.有了这些对钟面角的基本认识,我们就可以探究与钟面角有关的问题了.二、解决与钟面角有关的数学问题L计算从某一时刻到另一时刻,时针(分针)转过的角度公式法:时(分)针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时(分)针转过的时间X时(分)针的转速(注意统一单位).观察法:若时(分)针转过了 a大格b小格,则时(分)针从某一时刻到另

3、一时刻转 过的角度为:30a+6b .例1.从3: 15到7: 45,时针转过 度.从1: 45至IJ 2: 05,分针转过 度.分析:从3: 15到7: 45,时针走过的时间为小时(270分钟),时针转过的角度为:X30 =135 (或 270X =135 )4X 30+X 6=135或用观察法:时针共走了 4大格小格,时针转过的角度为:从1: 45到2: 05,分钟走过的时间为 20分钟,分针转过的角度为:20X6 =120 .或用观察法:分针共走了 4个大格(或20小格)分针转过的角度为:4X30 =120 (或:20X6 =120 ).2 .计算某一时刻时针(分针)与分针(秒针)之间的

4、夹角求差法:以0点(12时)为基准到某一时刻止,时针转过的角度与分针在整点后的 时间转过的角度差,即时针、分针之间的夹角.观察法:某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格,时针分针的钟面角=30a+6b例2 .4: 00点整,时针、分针的夹角为 .11: 40,时针、分针的夹角为 .分析:4: 00整,时针、分针相差 4个大格,夹角为:4X30 =120 .作差法:11: 40,以0点(12时)为基准2时针转过的角度为:11? X30 =350分针转过的角度为:40X6 =240,时针、分针的夹角为:350 240 =11022观察法:11: 40分针、时针相隔3G个大格,时针、分针的夹角为:3

5、3 X30 =1103 .求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想:时针、分针成特殊角时对应的时间问题,通常以 0点(12时)为基准将时 针、分针所转过的角度可看成一个追及问题,从而借助方程进行求解.相等关系:整点后分针转过的角度一整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角(分针需追赶的角度)+a时x分分针与指针的夹角(分针应多转的角度)或:分针整点后转过的角度一时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3 .你能用一元一次方程解决下面的问题吗(课本习题P114页第8题)在3时和4时之间的哪个时刻,钟的分针与时针:重合;成平角;成直角.分析:重合:设3时x分时针、分针重合.3时整,时

6、针、分针的夹角为 90 .即在后x分钟,分针要比时针多走 90。,分针才能追及时针重合.从3时整到3时x分,分针走过6x度角,时针走过度角.依题意有6x =90分针与时针成平角:设 3时x分时针、分针成平角,即在后 x分钟,分针先要多走90解得:x = 16追及时针,然后还要比时针多走180。.依题意有6x =90+180解得:x=49分针与时针成直角:应分两种情况讨论.分针在时针的顺时针方向垂直.此时钟面角为90 .即在后x分钟,分针先要多走90追及时针,然后还要比时针多走90 .依题意有6x -=90+90180解得:x= 33分针在时针的逆时针方向垂直.此时钟面角为270 .即在后x分钟

7、分针先要多走90追及时针,然后还要比时针多走270 .依题意有6x -=90+90180解得:x-65 (不合题意,舍去)例4.在一个圆形时钟的表面,4 .钟面角的综合应用OA表示秒钟,OB表示分钟(。为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,问经过多少秒后, OAB的面积第一次达到最大分析:4OA即面积最大,设OA边上的高为h,则h总小于等于 OB,只有当OALOB时, h=OB,此日OAB的面积最大.12点整,分针、秒针重合,设经过 x秒,分针、秒针第一次垂直, OA即面积第一次达到最大.此时秒针走过角度为6x,分针走过的角度为.依题意有156x=90解得x=15-15即经过15 5

8、9秒后, OAB的面积第一次达到最大.钟表夹角问题公式钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每 过一分钟分针走6度,时针走度,能追度。公式可这样得来:X时时,夹角为30X度。Y分,也就是分针追了时针度。可用:整点时的度数30X减去追了的度数。如果减得的差是负数,则取绝对值,也就是直接把负号去掉, 因为度数为非负数。因为时针与分针一般有两个夹角,一个小于180度,一个大于180度, (180度时只有一个夹角)因此公式可表示为:|或360-|度。|为绝对值符号。如:2: 10,可代入得:60-55=5度。大于180度的角为:355度。如:11: 20, 330-110=2

9、20 度,小于 180 的角:360-220=140 度。:比方说现在是X时Y分(X要小于等于12),则时针过数字X为Y/60 * 30 = Y/2 度而分针指在Y/5所以时钟和分针的夹角 =(Y/5 - X)*30 - Y/2 = 11Y/2 - 30X 度我们先设求m时n分时指针夹角度数,先求m时n分时针分针相对于 12时转过的相对度数:时针转过的度数为(60+n) ,分针转过的 度数为6n ,再用时针与分针转过的相对度数大值减小值,如果大 于1800 ,再用360减去所求差,求出的为最后结果。这样我们就可以得出公式:| (60+n) 0 -6n | 或360 -| (60+n) -6n |

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