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1、,名校名师推荐 ,小学数学奥数基础教程操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加 1，是偶数就除以 2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。例 1 对于任意一个自然数n ，当 n 为奇数时，加上121；当 n 为偶数时，除以2。这算一次操作。 现在对 231 连续进行这种操作， 在操作过程中是否可能出现100？为什么？讨论： 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100。当然，连续操作下去会发现
2、，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现 100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。解： 因为 231 和 121 都是 11 的倍数， 2 不是 11 的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是 11 的倍数。 100 不是 11 的倍数，所以不可能出现。由例 1 看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。例 2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对 18 和 42 可进行这样的连续变换：18， 42 18 ， 24 18 ， 6 12 ， 6 6 ， 6 。直到两数相同为止。问：对 12345 和 54321 进
3、行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？分析与解： 如果两个数的最大公约数是 a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是 a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345 和54321 的最大公约数是 3，所以最后得到的两个相同的数是3。注： 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例 3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着 0。然后转动圆盘，每次可以转动90的任意整数倍，圆盘上的四1,名校名师推荐 ,个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上
4、的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？解： 不可能。因为每次加上的数之和是1 23 4=10，所以黑板上的四个数之和永远是 10 的整数倍。 999 4=3996，不是 10 的倍数，所以黑板上的四个数不可都是 999。例 4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1 或减 1，这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图。问：右下图中A 格中的数字是几？分析与解： 每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加 1 或减 1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内
5、的数字之和的差保持不变。因为原题左图的这个差是 13，所以原题右图的这个差也是13。由（ A12） -12=13 解得 A=13。例 5 将 1 10 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。当 1 10 十个数如下排列时，需交换多少次？8， 5， 2， 6，10， 7，9， 1， 4，3。分析与解： 为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的数10开始交换，将10 交换到它应在的位置后，再依次对9， 8，7，, 实施交换，直至按从小到大排列为止。因为 10 后面有 5 个比它小的数，所以对10
6、 连续交换5 次， 10 到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看9， 9 后面有 3 个比它小的数，需交换3 次， 9到了右边第二位，排在10 前面；再依次对8， 7， 6，, 实施这样的交换。10 后面有 5 个比它小的数，我们说 10 有 5 个逆序； 9 后面有 3 个比它小的数，我们说 9 有 3 个逆序；类似地， 8， 7， 6，5，4，3， 2 依次有 7， 3， 3，4，1， 0， 1 个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换2,名校名师推荐 ,5 37 3 3 4 10 1= 27 （次）。例 6 右图是一个 5 6 的方格盘。 先将其中的任意 5 个方
7、格染黑。 然后按以下规则继续染色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？分析与解：以一个方格的边长为1，开始时 5 个黑格的总周长不会超过45=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A 与 4 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少 4；下中图中， A 与 3 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少2；右下图中， A 与 2 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而 5 6 方格盘的周长是22 ，所
8、以不能将整个方格盘染成黑色。练习 171. 黑板上写着 1 15 共 15 个数，每次任意擦去两个数， 再写上这两个数的和减1。例如，擦掉 5 和 11，要写上 15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1 的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？3.口袋里装有 101 张小纸片，上面分别写着1 101。每次从袋中任意摸出5 张小纸片，然后算出这 5 张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？4
9、. 在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2 和4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右3,名校名师推荐 ,图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第 8 次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？5. 六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？6. 将 1 10 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第
10、 4 位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？7. 在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5 的倍数？为什么？答案与提示练习 171.106 。提示：操作一次，黑板上的数减少1 个，数字总和减少1。经过 14 次操作，剩下的一个数是（ 1+2+,+15） -14=106 。2.2 次。提示：若写的是奇数，则只需1 次操作；若写的是大于2 的偶数，则经过1 次操作变为奇数，再操作1 次变为 2。3.51 。提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。4.758 。提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字
11、之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的 2 倍。第 8 次标完后的总和是4,名校名师推荐 ,6 28-1 =6 27=768。5.4 次。提示：将各次操作表示如下：（ 1， 1， 1， 1， 1， 1）（ 0， 3，1， 1， 1， 0）（ 2， 2， 1， 1， 0， 0）（ 4， 1， 1， 0， 0， 0）（ 6， 0， 0，0， 0， 0）。6.6 次； 42 次。提示：与例 5 类似，当十个数按 1， 2， 3， 10， 4， 5， 6， 7， 8，9 排列时，交换的次数最少，要交换 6 次；当十个数按 9，8，7，10，6，5， 4， 3， 2，1 排列时，交换的次数最多，要交换 42 次。7. 不能。解：要使第一列的两个数 1，4 都变成 5 的倍数，第一行应比第二行多变 （3+5n）次；要使第二列的两个数 2，3 都变成 5 的倍数， 第一行应比第二行多变 （ 1+5m）次。因为（ 3+5n）除以 5 余 3，（ 1+5m）除以 5 余 1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现。注： m， n 可以是 0 或负数。5