《高等数学A,B上册期中卷 3.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学A,B上册期中卷 3.pdf（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、共 3 页 第 1 页 07-08-2(A、 B)期 中 试 卷 参 考 答 案 及 评 分 标 准期 中 试 卷 参 考 答 案 及 评 分 标 准 一一.填空题（每小题填空题（每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1当n 时， 1 11 kk nn 与1 cos(0) a a n 是等价无穷小，则3k =，2a =； 2已知 2 1 lim0 1 x x axb x + = + ，则1a =，1b = ； 3函数 1 ( ) 1 x f x x = + 带Peano余项的4阶Maclaurin公式是 2344 1 2222()xxxxo x+； 4 22 2 1 esin2arct
2、an 2 2 esindd 313 xx xxCx x += + + + +； 5当某质点沿曲线yx=运动到点 0 M处时, 该质点的x坐标和y坐标关于时间的变 化率相等，点 0 M的坐标为 1 1 , 4 2 ； 6函数 2 1 ( )lnf xx x =的单调增加区间为( ) 2 1,e，极大值为 2 4e. 二二.单项选择题（每题单项选择题（每题 4 分，满分分，满分 12 分）分） 7设对x R, 有( )( )( )h xf xg x, lim ( )( )0 x g xh x =, 则lim( ) x f x D (A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (
3、D) 不一定存在 8极限 2 1 41ln 1 lim 2sin x x x xx + + = + B (A) 2 (B ) 2 (C) 3 (D) 3 9函数 3 ( )sinf xxxx=的不可导点的个数为 C (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 三三.计算题（每小题计算题（每小题 8 分，满分分，满分 32 分）分） 10 0 1sincos lim sinln(1) x xxx xx + + 解解 () 2 000 1sincos(sin)1sin limlimlim11 sinln(1)2 1sincos xxx xxxxx xx xxx xxxx + =+= + + P
4、DF created with pdfFactory Pro trial version 共 3 页 第 2 页 （4+3+1 分）分） 11. 设 32 ln(1)xtt ytt = + =+ ，求 2 2 d d y x . 解解 d (32)(1) d y tt x =+（3 分）分） 2 2 d(65)(1) d ytt xt + =（5 分）分） 12设() 2 ( )sin2f xxxx=+，求 (10)( ) fx. 解解 () (10)102109 ( )2sin225(21)cos2245sin2fxxxxxxx= +（2+3+3 分）分） 13.试确定常数a、b的值，使得曲
5、线 2 yxaxb=+和 3 21yxy= +在点(1, 1)处相 切，并求切线方程. 解解 2ab+= ， （2 分）分）曲线 2 yxaxb=+点(1, 1)处的切线的斜率为 1 2ka=+， （1 分）分）曲线 3 21yxy= +点(1, 1)处的切线的斜率为 2 1k =， （1 分）分）由 12 kk=得1a = ， 从而1b = ， （2 分）分）切线方程为2yx=（2 分）分） 四四(14). （8 分）分） 讨论 2 333 ( )lim (0) 2 n nnn x f xx x + = + 的连续性， 并指出间断点的类型 （应 说明理由）. 解解 52 2 3 3333 2
6、 3 0, 02 2 ( )limlim2 ,2 2 ,2 1 2 n n nnnnn x x x f xxx x x xx + + （4 分）分） 2 lim( )0 x f x =， 2 lim( )4 x f x + =， （2 分）分）( )f x在0,2)和(2,)+上连续，2x =是( )f x 的跳跃间断点. （2 分）分） 五五(15).（8 分）分）设函数( )f x在(,) +上定义，(0)1 f =,并对任意实数x和h,恒 有()( )( )2f xhf xf hhx+=+, 证明( )f x在(,) +上处处可导,并求( )fx. 解解 在等式()( )( )2f xh
7、f xf hhx+=+中令0h =，得(0)0f=， （2 分）分） 则 00 ()( )( )(0) limlim221 hh f xhf xf hf xx hh + =+=+，（4 分）分） 于是( )f x在(,) + 上处处可导，且( )21fxx=+（2 分）分） PDF created with pdfFactory Pro trial version 共 3 页 第 3 页 六六(16). (8 分分) 设1p , 1q , 且 11 1 pq +=，证明：当0 x 时， 11 p xx pq +. 证证 设 11 ( ) p f xxx pq =+， （1 分）分）则 1 (
8、)1 p fxx =，令( )0fx=，得唯一的驻点 1x =， （3 分）分）且(1)10fp= ，1x =是( )f x唯一的极小值点，因而是最小值点。 （2 分）分）故 11 ( )(1)0 p f xxxf pq =+=，不等式得证。 （2 分）分） 七七(17)(8 分分) 设( )f x在闭区间 , a b上具有一阶连续导数，在开区间( , )a b内二阶可 导， 且( )( )f af b=，( )( )0fa fb + ， 试证： 至少存在一点( , ),a b 使得( )0f=. 证证 若( )( )fafb + =，由Rolle定理知， ( , )a b ，使得( )0f=； （2 分）分）若 ( )( )fafb + ，不妨设( )0,( )0fafb + ，且( )( )fafb + .由于( )( )f af b=，由 Rolle定理知， ( , )a b ，使得( )0f =（2 分）分） ，再由于 , ( ) a b fxC，且 ( )( )( )ffafb + ，由介值定理知， ( , )cb ，使得( )( )faf c + =， （2 分）分）再 由Rolle定理知， ( , )( , )a ca b ，使得( )0f=.（2 分）分） PDF created with pdfFactory Pro trial version