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1、切线长定理-市级优质课,复习,1、切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,2、切线的性质归纳,圆的切线垂直于过切点的半径,想一想,如图，纸上有一O ，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。,1、OB是O的一条半径吗？,2、PB是O的切线吗？,经过圆外一点，可以做圆的 条切线,2,A,B,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,切线长概念,如右图，线段PA，PB叫做点P到O的切线长，对吗？,想一想：切线和切线长是一回事么？,(1)切线是一条与圆相切的直线，不能度量. (2)切线长是一条线段的长，它是一个数量,
2、可以度量.,注意：切线和切线长是两个不同的概念,概念辨析,活 动 二,如图，纸上有一O ，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。,利用图形轴对称性解释,3、PA、PB有何关系？,4、APO和 BPO有何关系？,PA=PB,APO= BPO,推理论证,已知：从O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， OPA=OPB,证明：连接OA，OB PA，PB与O相切， 点A，B是切点 OAPA，OBPB 即 OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,切线长定理,从圆外一点引圆的两
3、条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,符号语言:,归纳：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法,应用新知,1、判断 （1）过一点可以做圆的两条切线。（ ） （2）切线长就是切线的长。（ ） 2、已知PA、PB与O相切 于点A、B，O的半径为2 （1）若四边形OAPB的周 长为10，则PA= 。 （2）若APB=60， 则PA= 。,O,A,B,3,2,2,30,4,已知：PA、PB分别与O切于点AB，连接AB交OP于点M，那么OP除了平分APB以外，还有什么作用？请说明理由。,(1)OP垂直平分AB
4、,思考,(3)OP平分AOB,即 OPAB，AM=BM,即 AOP=BOP,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连接圆心和切点,在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,归纳：作辅助线方法,练习：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,A,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（2）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（3）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,例：如图，PA、PB分别
5、切 O于A、B， CD与O切于点E，分别交PA，PB于C、D，已知PA=7cm，求PCD的周长,证明：,PA、DC为O的切线 DA=DE （切线长定理） 同理可证 CE=CB，PA=PB 又CPCD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PA+PB =7+7 =14 cm,例题,讨论思 考,一张三角形的铁皮，如何在它上面 截下一块圆形的用料，并且使圆的 面积尽可能大呢？,要求：1、会用尺规作出这个圆。 2、知道三角形的内切圆 和三角形 的内心的概念。,探 究 活 动2,三角形的内切圆：,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内心：,三角形的内切圆的圆心,（即三角形三条角平分
6、线的交点）,三角形的内心的性质： 1、三角形的内心与顶点的连线平分三个内角。 2、三角形的内心到三角形三边的距离相等。,三角形外接圆,三角形内切圆,外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形 任意一个顶点的距离 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。,内切圆圆心：三角形三个内角 平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形 任意一边的距离。 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,阅读 对比,例题：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。,解：设AE=x (cm), 则A
7、F=x (cm),CD=CE=ACAE=13x,BD=BF=ABAF=9x, BD+CD=BC,（13x）+（9x）=14,解得,X=4,因此,AE=4 cm,BD=5 cm,CE=9 cm,x,13x,x,13x,9x,9x,9,14,13,新知应用,例题：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。,解：设AE=x (cm), 则AF=x (cm),设CD=y，则CE=y,设BD=z，则BF=y,(1)+(2)+(3)得: x+y+z=18 (4),(4)-(1)得 z=5,因此AE=4 cm B
8、D=5 cm CE=9 cm,x,y,x,y,z,z,9,14,13,(4)-(2)得 x=4,(4)-(1)得 y=9,由题意得,补充.如图，ABC中,C =90 ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且AB=13，AC=5，求O的半径 r.,感悟：,达标练习,课堂小结,1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。,4、圆的外切四边形的两组对边的和相等,总结,证明：,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,补充结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等,练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P 求证： AD+BC=AB+CD,AL=AP，LB=MB, NC=MC，DN=DP,四边形ABCD的边AB、 BC、CD、DA和圆O 分别相切于点L、M、N、P,家庭作业,作业,课本第102页 习题24.2 第5题，第12题,