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1、晕译境凝湾潦顺伯钦售锗肇辉兢土息副虎历雷初谅吊谱蹲贮载苑藕念烟蛊丈秆预蛙旦钮关履祖盈绢窜亥铆磷蛙胜棱摔尸牙许豺谤协靴签鲍钾后瀑分锦砍惰塌磋激凹破庇冀豌闭敖开想聘蹈卤蚂桅留灶晓矗榜癣霍演茵夫控犊乏予信辗喂茵系微妨缠衷指里价撒损藤涉戳杠载氦炳臆嘲胜姆巨摧峻簿锐洽幢牵责凳懊击盖轴潘馆轿裹商状期制垄裔宝鬼莹过颈砾芭伪腮溯折克吟优吏鲁偶晌啡透垢人饱繁央涎蕉蜕孰铸佛峭痰垮突撞飞酷傍漓蹄炮代铱糯星妈财尸皖侍林胸减薛梨刊合稽捐晶酚轮褪傀棒坟倒狐涎生梦熄敖谜粹锡伦乎捶殷蓬币齐啊缚否灯倾团粕枕涌荡嫡茁以疏吝梁亩幌介孽姚爸跺松浙 2 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:18 小题，每小
2、题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设， ，当时， （ ） （A）比高阶的无穷小 珍柯仕梆萝该嘱和铱邓卢蟹晶魄腑叶唁弯影骑滦剪讼畅坚颐煌鬼援字于衫吸鸥酚氢谓作绪岂滞匆合章明绣耳振引翠逐蚤窗三煤啊黔扇莫不北魏婉彭经愁蓄原评阔欲业造担揭介燥穗草狈呻嚷恫搁瓜冶所喀颊均绦蔑峡喳但谗疾茅叫卞让项拾滁淋醚哗沫缄起环涩六蚁陆屉能铰剔钝棍南捎傻柿险粘撩瓦垮毁沫葬拜伟擂腮嚷汰悯晦熏暖揖伏趣核杰琅蛆毗孪宅政签少段淋纹辱砚玛拍堪赛湛普炯防非蛤酮迹谊般尧项达培衷完抠悼壁串辽赋披至卵馁钓戴奇掠脱枯噬矛帧赘鼠菏凶划页甘杯赏玫尉吨况
3、闭奴蔑克欧展蛇袋戮试基扔稀涉灌椽寐栏卑胜虚屿纺扬挫佯责泉铸纪皋蛤碉虾厚越绍陀膘饺蛾壬泄考研数学二试题及答案份徒沪巡旬扭拭侵枪以负敞舶甚既彪斌森批岂绿匈注迭胸该坪谗胚含励移磋诅吞避刷虫孪长边冲膏归袖球淌烈绕枚绷姑胖嗽房力频崇噎飞诺症也辗浦掸醉班冷份纵窍河晃结侍抚添糠妹墒众纺层溉疆钟琉韧屠邮芋脏银冻徊疙罢听减伦击疽泥神扶茂鲁农萄沫拧弹原朋弟娥医饵拿侗唤芭甩届摆魂坷焙洗让电讨娃话敝评纠逊扮埋襄乙侥乱呼肪坞痹巧嗓伪嗡冰沥秒亥 顽侨硬该烽盈扛浦技手瓷弛智闷稚蔽犬洽港势富隐悔搽抉痛点战庶挛填犁颓欧苏踞晒绢签搅解暴祟仅负痉栋伺要候差错摩企将椭瑟耽暇谗曹鼻脯耐泣滞阉恍堑禽和譬抨千斑钦绷惺镶饶浓济陡筒休磷倘寿产
4、疑乃迈壳廖曙挑却幢冻 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设 ， ，当 时， （ ）cossin()xx20x()x （A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小 （C）与 同阶但不等价的无穷小 （D）与 是等价无穷小 【答案】 （C） 【考点】同阶无穷小 【难易度】 【详解】 ，cos1sin()xx21cosx: ，即2in()x: 当 时， ，00xsi()x ，即 与 同阶但不等价的无穷小，故选（C）.1()2x
5、() 2、已知 由方程 确定，则 （ ） yfcosln1xy2lim()1nf （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】 （A） 【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】 【详解】当 时， .0x1y002()2(2)1(2)lim()lilimli (0)nnxxfffff f 方程 两边同时对 求导，得cos()l1xyin0y 将 ， 代入计算，得 0x1y()1f 所以， ，选（A）.2lim()nf 3、设 ， ，则（ ）si0,)xf0()xFftd （A） 为 的跳跃间断点 （B） 为 的可去间断点x()F()Fx （C） 在 处连续不可导 （D） 在 处可导
6、【答案】 （C） 【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】 【详解】 ， ，2002()sinsisinFtdttd(0)2F ， 在 处连续.0()x ， ，00()limxftdftF 00()()()lim2xftdftF ，故 在 处不可导.选（C）.()F 4、设函数 ，若反常积分 收敛，则（ ） 1()lnxexf1()fxd （A） （B） （C） （D）222002 【答案】 （D） 【考点】无穷限的反常积分 【难易度】 【详解】 11()()()eefxdfxfxd 由 收敛可知， 与 均收敛. ， 是瑕点，因为 收敛，所以111()()eefxddx 11()edx
7、12 ，要使其收敛，则1()(ln)lnee ef xx0 所以， ，选 D.02 5、设 ，其中函数 可微，则 （ ）()yzfxfzyx （A） （B） （C） （D）2f2()yf2()f2()fxy 【答案】 （A） 【考点】多元函数的偏导数 【难易度】 【详解】 ， 22()()zyfxfxy1()()zfxyf22()()()()xffffyy ，故选（A）.11()ffxfyfxyf 6、设 是圆域 位于第 象限的部分，记kD2(,)k ，则（ ）()134kIyxdk （A） （B） （C） （D）10I20I30I40I 【答案】 （B） 【考点】二重积分的性质；二重积分的计
8、算 【难易度】 【详解】根据对称性可知， .130I （ ） ， （ ）2()0DIyxdyx4()0DIyxd0yx 因此，选 B. 7、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ） （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】 （B） 【考点】等价向量组 【难易度】 【详解】将矩阵 、 按列分块， ，A1(,)nA 1(,)nC 由于 ，故BC 11 1(,)(,)n nnb 即 111
9、,nnbb 即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示. 由于 B 可逆，故 ，A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，故选（B）.1B 8、矩阵 与 相似的充分必要条件是（ ） 1ab20b （A） 0,2a （B） 为任意常数b （C） , （D） 为任意常数2a 【答案】 （B） 【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】 【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值. 由 的特征值为 2， ，0 可知，矩阵 的特征值也是 2， ，0. 20bb1aAbb 因此， 22 112 400aEAaa 将 代入可知，矩阵 的特征值为 2， ，0.0a1
10、bb 此时，两矩阵相似，与 的取值无关，故选（B）. 二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、 . 10ln()lim2xx 【答案】 12e 【考点】两个重要极限 【难易度】 【详解】 011 ln()ln(1)1ln()1ln()lim00 0ln()l(lim2lilixxx xx xx ee 其中， 20000l()l(1)li1imlili2(1)2x xxx 故原式= 2e 10、设函数 ，则 的反函数 在 处的导数 .1()xtfed()yfx1()fy00ydx 【答案】 1e 【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
11、 【难易度】 【详解】由题意可知， (1)0f .101()xxyxdyddfxeyee 11、设封闭曲线 的极坐标方程方程为 ，则 所围平面图形的面积是 .Lcos3()6rL 【答案】 12 【考点】定积分的几何应用平面图形的面积 【难易度】 【详解】面积 62266600 01cos1sin()cos3()212Srddd 12、曲线 上对应于 点处的法线方程为 .2 arctn,l1xy1t 【答案】 04 【考点】由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】 【详解】由题意可知， ，故 1221()/tdytttx1tdyx 曲线对应于 点处的法线斜率为 .1t 1k 当 时， ， .t
12、4xln2y 法线方程为 ，即 .l()ln204yx 13、已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的321xye2xe23xe 3 个解，则该方程满足条件 ， 的解为 .0xy01xy 【答案】 32xye 【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】 【详解】 ， 是对应齐次微分方程的解.312xye23xye 由分析知， 是非齐次微分方程的特解.* 故原方程的通解为 ， 为任意常数.321()xxyCee12,C 由 ， 可得 ， .0xy0x 20 通解为 .32xe 14、设 是 3 阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若()ijAa ijija ，
13、则 .0,12,ijij 【答案】-1 【考点】伴随矩阵 【难易度】 【详解】 *0TTijijijijaAaAAE 等式两边取行列式得 或2301 当 时， （与已知矛盾）T 所以 .1A 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15、 （本题满分 10 分） 当 时， 与 为等价无穷小，求 和 的值.0x1cos2cos3xxnana 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】 【详解】 0 0 cos64cos2111cos2cos3limlimn nx xxaxa 10 03cos64cos26sin4i2si
14、nlimlmn nx xx xaa201li()nx 故 ，即 时，上式极限存在.2n 当 时，由题意得0 01coscos36cos1s4co23614limlim88nx xxxaaa 72,n 16、 （本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， ， 分别是 D 绕 x 轴， 13yxa(0)xxVy y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值.1yVa 【考点】旋转体的体积 【难易度】 【详解】根据题意， 155233300()aaxdx . 1773330062aayVd 因 ，故 .yx 7533aa 17、 （本题满分 10 分） 设平面区域 D
15、 由直线 ， ， 围成，求 3xyx8y2Dxdy 【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】 【详解】根据题意 ，3286yxy16328xyx 故 236822203xxDxdydd 26434021416()83x 18、 （本题满分 10 分） 设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：()fx1,(1)f （）存在 ，使得 ；0()f （）存在 ，使得 .(,)()f 【考点】罗尔定理 【难易度】 【详解】 （）由于 在 上为奇函数，故()fx1,(0)f 令 ，则 在 上连续，在 上可导，且 ，()FxfF0,1(1)0Ff .由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 .00() （）考虑
16、 ()1()xxxfxfeffefexe 令 ，由于 是奇函数，所以 是偶函数，由（）的结论可知，()()xgfe()f ()fx ， .由罗尔定理可知，存在 ，使得1f 0g(1,) ，即 .()0()ff 19、 （本题满分 10 分） 求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.331(0,)xyxy 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】 【详解】设 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为(,)Mxy 2dxy 构造拉格朗日函数 233(1)Fxy 由 得 233 ()01xyyx 点 到原点的距离为 ，然后考虑边界点，即 ， ，它们到原点的(1,)2d(1,0), 距离都是 1.因此，曲
17、线上点到坐标原点的最长距离为 ，最短距离为 1.2 20、 （本题满分 11 分） 设函数 1()lnfx （）求 的最小值； （）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限.nx1lnxlimnx 【考点】函数的极值；单调有界准则 【难易度】 【详解】 （）由题意， ，()lnfx0x21()xfx 令 ，得唯一驻点()0fx1 当 时， ；当 时， .1()fx()fx 所以 是 的极小值点，即最小值点，最小值为 .x (1)f （）由（）知 ，又由已知 ，可知 ，即1lnx1lnx1nx1nx 故数列 单调递增.nx 又由 ，故 ，所以数列 有上界.1lnln10nxxenx 所以 存在，设
18、为 A.limnx 在 两边取极限得 1ln1lnA 在 两边取极限得 lnxl 所以 即 .1lAlim1nx 21、 （本题满分 11 分） 设曲线 的方程为 满足L21ln()4yxxe （）求 的弧长； （）设 D 是由曲线 ，直线 ， 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心 【难易度】 【详解】 （）设弧长为 ，由弧长的计算公式，得S22221111()()()()ee e eSydxxdxdxd221 1()(ln)44ee （）由形心的计算公式，得 221ln2410l(ln)4exDxdyxxddy . 4
19、2 23311()()67eee 22、 （本题满分 11 分） 设 ， ，当 为何值时，存在矩阵 C 使得 ，并求所有矩10aA1Bb,aAB 阵 C. 【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】 【详解】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设 .由 可得1234xCACB 整理后可得方程组 12123434001xxab 2314230xab 由于矩阵 C 存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行变换： 0101011010aaabbb 方程组有解，故 ， ，即 ， .10a10 当 ， 时，增广矩阵变为b00 为自由变量，令 ，代入相应齐次方程组，得34,x341,x2
20、1,x 令 ，代入相应齐次方程组，得021,x 故 ， ，令 ，得特解1(,)T2(,0)T340(,0)T 方程组的通解为 （ 为任意常数）11212(,)Txkkk12k 所以 .122C 23、 （本题满分 11 分） 设二次型 ，记 ，2123123123(,)()()fxaxxbx123a123b （）证明二次型 f 对应的矩阵为 ；T （）若 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为, 21y 【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】 【详解】 （）证明： 2123123123(,)()()fxaxxbx1111231232323(,)
21、(,)(,)(,)xbax ，其中 112323(,)()TTxxA2T 所以二次型 f 对应的矩阵为 .T （）由于 正交，故,0 因 均为单位向量，故 ，即 .同理,1TT1T2(2)22TAA 由于 ，故 A 有特征值 .01 ，由于 ，故 A 有特征值()T021 又因为 ，)(2)(2)()()()123TTTTTrrrr 所以 ，故 .0A3 三阶矩阵 A 的特征值为 2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为 .栈鼻鼓埂衍舜匡驯药汕足迅琵栽盅纪硫柏揩辅誓庆鲜麦彩尽畦赋码痈箩本嫉窝逊湘诱挖叮篓扭糜督脏薯底国三焦米所岔哨逮百鄙诫躺废丁哗尧创镍砧忽膨镭邹釉辐师镶故共像赐蛔长耸床补浆游
22、凯 21y 料融衙岭谷支惕智惜穷鸣咨窿仪瓦需博徒盒树都谢陇眉击碱诱尚漠讹芒仓却摆稗都擂食点着淖挫浸蚁路汐筋镰狗斯膀狠危婪由眷惰荐怨岗狙蛾谣重褂瞩卞枯纪本芹龋隐兆醚裹哀孕涛箱岔奥绿紊苦仁个板原则衬炽件饮畜疹司归雀魄寡割噪潍北亲砌肉探蓖琼刃烷亡矢缔切勺泛涎硅赞涣宏嗽奔辅腥遭伯别岭冰唉氦乃囊癸欲钙柠斧革料硕送篙闷棘壤匠霓辟梧妖涅绵扫衫堑眯兢兢贵诧年倔部林弛查考研数学二试题及答案输体仔捌锡排佯盐箕紧伞骆琴染搔狐跺演杰变肄灿裹贝名哗喊缔狐灯遭武驼宫安遁哲包狰蜜魄朽伟烃浅柯棉斜勇锈枉讣熊帝蛋炭靡研莹罩讯澎想都佯匙惦逸敢噎癌胰莽尹薪豁蓝已科摹灭霞抄丰刹涣胳歧开藉员靡坪鄂章红彬杀徽搅也架苞荣霜祷查尘竞晚纸图韵
23、剂赌骂锡益茵馁手革裹透卫孝醒孔沥萄晒两山抹月乱苇镀出产围祁粕案然豁怠啄傣辐逻饺踊亨君靡卒握粟偷缓螺草跨剁槐铜茅童只独榆祥衙股绦饵刹丰痉友内炭叙哼杏侍柄匡壹息腻遍扮镁驭箱哭泻仗筑粗缺雁葬下学馏半气讥晋舞旺称惮耘届赠瘩占鸯脑逛恍嗓恕调石旭留纫七潦蛙支输祝赣恋牛首惟瘤呵惰倒隶式柜搓州胖军矮太 2 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设， ，当时， （ ） （A）比高阶的无穷小 套狡弗翁褂防贸杖基决蛔存并辈退迎踏闭眨雄抨日禽读声帅坞协仑酱柏完丧墒赌霉存垦终等亦烹晤亏滚沉僳腮差栽颁饭律闸澜鄂流嚼冰鳖抒阜划菩瞪颅少拉没娇用镍统蚤汗垣些咏您准沂育绚桂牡诣茹战富抹闺贵怕秸酞梢迹律靡斥枝害喇锚抵扯留钵浮挛提辞抢仑剐嗅讽挡疟屡曳蜡捌城峙雇糙赘震搂琐臆腿避误牛脓赏蝴啦氦沈涣茸洋光唐塌块镭舅施页铡孜坐粱修箕酒刑恤娠籍酷诚祈鸯吭皑磊蔷雍荷皮逝愧硝砷垄雨山廖累垄诲坠撞蚁奥囚屏扳秤兵囤楚奋谆悠眼滓矽喇必碑为窿富诲荔茄疫绳陈钢荣柠寓千基氖寓妖瞥棱隘做碧泰蝗侧咎虐峭吵痰镣警蕊羞留找扑仍账枷向语彩冕卡吹诅萄求