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1、全等三角形知识点总结及复习 一、知识网络 对 应 角 相 等性 质 对 应 边 相 等边 边 边 S全 等 形 全 等 三 角 形 应 用 边 角 边 A判 定 角 边 角 角 角 边斜 边 、 直 角 边 HL作 图 角 平 分 线 性 质 与 判 定 定 理 二、基础知识梳理 （一） 、基本概念 1、 “全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形 中的特殊情况） 当两个三角形完全重合
2、时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合 的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和
3、其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻 找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： 夹边相等（ASA）任一组等
4、角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS) （三）经典例题 例 1. 已知：如图所示，AB=AC， ，求证： . 例 2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与 DE 交于点 B。求证： 。 例 3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证： 。 例 4. 如图所示， ，垂足分别为 D、E，BE 与 CD 相交于点 O，且 求证：BD=CE。 例 5：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD、CEAB
5、于 E，且B+D=180。 求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补 短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于 AC 是角平分线，所以在 AE 上截 AF=AD，连结 FC，可证出 ADCAFC，问题就可以得到解决。 证明（一）： 在 AE 上截取 AF=AD，连结 FC。 在AFC 和ADC 中AFDC已 作已 知公 共 边12 AFCADC（边角边） AFC=D（全等三角形对应角相等） B+D=180（已知） B=EFC（等角的补角相等） 在CEB 和CEF 中BEFC已 证 已 知公 共 边 90
6、 CEBCEF （角角边） BE=EF AE=AF+EF AE=AD+BE（等量代换） 证明（二）： 在线段 EA 上截 EF=BE，连结 FC（如右图） 。 小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需 要我们恰到好处的添加辅助线。 （四） 全等三角形复习练习题 一、选择题 1如图，给出下列四组条件： ； ；ABDECFAD， ， BEBCEF， ， ； ， ， AD， ， 其中，能使 的条件共有（ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 2.如图， 分别为 的 ， 边的中点，将此三角形沿 折叠，使点 落在 边， C AB 上的点 处若 ，则 等
7、于（ ）P48P 3.如图（四） ，点 是 B上任意一点， ，还应补充一个条件，才能推出ACD 从下列条件中补充一个条件，不一定能推出 P 的是（ ） A BB C BDD A A B C D425258 1 题图 2 题图 4.如图，在ABC 与DEF 中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的 一组条件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF 5如图， ABC 中， C = 90， AC = BC， AD 是 BAC 的平分线，DEAB 于 E， 若 AC = 10cm，则 DBE 的周长等于
8、( ) A10cm B8cm C6cm D9cm 6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址有（ ）1 处 2 处 3 处 4 处 4 题图 5 题图 7某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 C A D PB 图（四） E D C BA 6 题图 么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去 8如图，在 Rt 中， 90B ， ED是 AC的垂直平分线，交 AC于点 D，交 B 于点 E已知 1，则 的度数为（ ） A 30 B 4 C 50 D 60 9如图， ， =30，则
9、的度数为（ ）A A20 B30 C35 D40 10如图， AC AD， BC BD，则有（ ） A AB 垂直平分 CD B CD 垂直平分 AB 1 题图 C AB 与 CD 互相垂直平分 D CD 平分 ACB 8 题图 10 题图 11尺规作图作 AOB的平分线方法如下：以 O为圆心，任意长为半径画弧交 OA、 B于 C、D ，再分别以点 C、 D为圆心，以大于 12CD长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 ， 由作法得P 的根据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS 12.如图, C=90,AD 平分BAC 交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 A
10、B 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定 13如图， OP 平分 ， ， ，垂足分别为 A， B下列结论中不一定成立的是OPOB （ ）A B 平分 C D 垂直平分OP 14.如图，已知 那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（ ）D， C A B C DCA 90 11 题图 12 题图 二、填空题 1.如图，已知 ADB， ACE，要使 ABC DE ，可补充的条件是 （写出一个即可）_ 2.如图,在ABC 中,C=90,AC=BC,AD 平分BAC 交 BC 于 D,DEAB 于 E,且 AB=5cm,则DEB 的周长 为 _ 3.如图， C，请你添
11、加一个条件： ，使 O（只添一个即可） 4.如图，在 ABC 中，C=90ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，DC=6 厘 米，则点 D 到直线 AB 的距离是_厘米。 A D CEB 8 题 图 A BC D 7 题图 ABCD A B C D 14 题图 C A B O 13 题图 B A P O D P C A B 1 题图 2 题图 3 题图 4 题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形 有 个 6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度. 7 如图，C 为线段 AE 上一动
12、点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE、AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论： AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60. 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 。 8.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是 _. 6 题图 7 题图 8 题图 三、解答题 1.如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE. 第 1个 第 2个 第 3个A CEB D O AB CD E D O C BA
13、 B A B C D E QP O B E D CA A B D E C 2.如图，在 中， ，分别以 为边作两个等腰直角三角形ABC 40BAC， ABC， 和 ，使 DE9DE （1）求 的度数；（2）求证： 3.如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE . 4.如图，D 是等边ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接 AE，找出图中的一 组全等三角形，并说明理由 5.如 图 ， 在 ABC 和 DCB 中 ， AB = DC， AC = DB， AC 与 DB 交 于 点
14、M （1）求证： ABC DCB ；（2）过点 C 作 CN BD，过点 B 作 BN AC， CN 与 BN 交于点 N，试判断 线段 BN 与 CN 的数量关系，并证明你的结论 OCEBDA B C A D M N E D CB A 6.如图，四边形 ABCD的对角线 与 BD相交于 O点， 12， 34 求证：（1） ；（2） 7如图，在 和 中，现给出如下三个论断： ； ；ABC D ADBCD 请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题12 （1）写出所有的真命题（写成“ ”形式，用序号表示）： （2）请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是： 证明： 8.已知：如图
15、，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD 21 D C B A O12 34 9如图， ABC 中， BAC=90 度， AB=AC， BD 是 ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F 求证： BD=2CE 10.如图， ，请你写出图中三,ABCDAEBDAEF于 点 ， ， 平 分 交 于 点 对全等三角形，并选取其中一对加以证明 11已知：如图， DC AB，且 DC=AE， E 为 AB 的中点， （1）求证： AED EBC （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除 EBC 外，请再写出两
16、个与 AED 的面积相等的三角 形 （直接写出结果，不要求证明）： 12如图， E、 F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE AC 于 E， BF AC 于 F，若 AB=CD， AF=CE， BD 交 AC 于点 M （1）求证： MB=MD， ME=MF （2）当 E、 F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明； 若不成立请说明理由 OE D CB A B D C F A 郜 E F E D CB A 13 已知：如图 A、D、C、B 在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DFCE （2）DE=CF A D F E 14.如
17、图，已知在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两条边上的高，在 BE 上截取 BD = AC，在 CF 的延 长线上截取 CG = AB，连结 AD、AG，则 AG 与 AD 有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知 BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若 AB=AC求证：AD 平分BAC BCE 16.如图，B=C=90，M 是 BC 中点，DM 平分ADC，求证：AM 平分DAB 17.如图，在ABC 和DBC 中，ACB =DBC = 90， E 是 BC 的中点，EFAB，垂足为 F，且 AB = DE 8.如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB
18、，DFAC，垂足分别为 E、F，连接 EF，EF 与 AD 交于 G，AD 与 EG 垂直吗？证明你的结论。 19如图，在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD，CE 相交于点 O试说明 AE+CD=AC 如图，在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD，CE 相交于点 O试说明 AE+CD=AC 20.如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE. 求证：AF=AD+CF。 A B F C E D 已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC,AE 是过点 A 的一条直线，且 BDAE 于 D，CEAE 于 E,(1)当直线 AE 处于如图的位置时，有 BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线 AE 处于如图的位 置时，则 BD,DE,CE 的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1） （2） ，请用简洁的语言表达 BD,DE,CE 之间的关系。 B A D E C B C EAD