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1、圆锥曲线与方程知识点汇总,2.1 椭圆,1、椭圆的定义：,椭圆形成演示椭圆定义.gsp,满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？,(1)平面上-这是大前提 (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a (3)常数 2a 要大于焦距 2c,4,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹,a2-c2=b2,求椭圆的标准方程 （1）首先要判断类型， （2）用待定系数法求,a2=b2+c2,典例分析,例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。,.,解： 椭圆的焦
2、点在x轴上 设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为,？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？,定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.,待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”., 求曲线方程的方法：,c2=a2-b2,-axa, -byb,-bxb, -aya,对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(b,
3、0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(c,0)、(-c,0),(0 , c)、(0, -c),长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c,(0e1),2、椭圆的简单几何性质：,椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？,e(0，1).,e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.,2.2 双曲线, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,（1）2a2c ；,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,（2）2a 0 ；,思考：,（1）若2a=2c,则轨迹是什么？,（2）若2a2c,则轨迹是
4、什么？,说明,（3）若2a=0,则轨迹是什么？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)两条射线,(2)不表示任何轨迹,(3)线段F1F2的垂直平分线,1、双曲线的定义：,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,c2=a2+b2,17,或,或,关于坐标 轴和 原点 都对 称,2、双曲线的简单几何性质：,18,例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,19,例2,思考:一个双曲线的渐近线的方程为: ,它的离心率为 .,解：,F（c，0）,F
5、（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,3.双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,ab0，c2=a2-b2,21,|x|a,|y|b,|x| a，yR,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b,(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b,无,2.3 抛物线,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|M
6、F|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,1、抛物线的定义：,抛物线标准方程,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意义:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四种抛物线的对比,典例分析,（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求抛物线的标准方程,（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程,（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程,x 2 =8 y,y
7、 2 =4 x,看图,看图,看图,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,e=1,2、抛物线的简单几何性质：,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本
8、特征的草图。,基本点：顶点，焦点,基本线：准线，对称轴,基本量：P（决定抛物线开口大小）,抛物线的基本元素 y2=2px,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法二:由题意可知,