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1、有趣的图形数2010-04-29 17:44:11|分类：数学珍闻| 标签：|字号大中小订阅古希腊有位数学家叫 达哥拉斯。他和他的学派在数学上做出了巨大的 献。 达哥拉斯 “数是万物之源 ”。1 表示点， 2 表示 ， 3 表示面， 4 表示体。世 万物无一不是由点、 、面、体所 成，而1 23410，因此，10 就可以表示宇宙。 达哥拉斯把自然数看成是点的化身，尤其看重能 排成三角形、正方形、 方形的数。下面我 就用 三种数推出一些非常重要的常用公式。公式一：两个三角形数可以 成一个 方形数：所以 (12 3 45) 2 56 ，即推而广之，如果三角形数有 n ， 方形数就有 n ，每 有
2、n1 个点，于是得到 求 自然数的和的公式 ：公式二 ：正方形数可以 划分：所以 13 5 7 9 52 。推而广之， 如果正方形数有 n ，第 n 就有 2n 1 个点，于是得到 求 奇数和的公式 ：1 3 5 (2n 1) n2公式三： 方形数可以 划分：所以 2 4 6 8 10 5(51) 。推而广之，如果 方形数有 n ，第 n 就有 2n 个点，于是得到 求 偶数和的公式 ：2 4 6 2n n(n 1)公式四：正方形数 可以 划分：先按横行从 1 加到 5 ，再按 列从 4 加到 1，即 12345 4 3 2 1 52。推而广之，如果正方形数有 n ，于是得到 求从 1 到 n
3、 再到 1 的 自然数之和的公式 ：123 n(n 1) (n 2) 21n2 形数把抽象的数与直 的 形巧妙地 在一起， 种数形 合的方法是一种重要的常用的数学思想方法。 下面我 一步用 种方法再推出两个比 复 一点的重要公式。公式五：把 5 个 正方形数 12、22、 32、 42 、52 稍加 形，排成左下方的“摩天大楼形 ”：在它的两 各加上同 的 5 个 正方形数，得到一个像右上方那 的 方形数。摩天大楼形数等于122232 42 52 方形数是它的3 倍。从下往上看， 个 方数有层。从最上层看，每层有25 1 个点。所以长方形数等于于是推而广之，就得到 求连续平方数的和的公式：真是
4、妙不可言！公式六 ：下面的大正方形是由一些边长分别是1、 2、 3、 4、5 的小正方形拼成的。观察发现，虽然有两处重叠， 不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。 因此可以说， 这个大正方形是由 1 个边长为 1 的正方形、 2 个边长为 2 的正方形、 3 个边长为 3 的正方形、4 个边长为 4 的正方形和 5 个边长为 5 的正方形拼成的。所以它的面积等于22222333311223344551 2 34 53而大正方形的边长等于面积等于边长的平方。于是推而广之，就得到 求连续立方数的和的公式：真是不可思议！上面我们用数形结合与合情推理的方法， 妙趣横生地得到了六个非常重要而常用的公式，使我们不能不又一次为数学内在奥秘所陶醉， 为她那无与伦比的美所倾倒。这，就是数学的魅力！