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1、两角差的余弦公式微课说明两角差的余弦公式是本章的基础和出发点上好这节课很不容易，因为在教学处理上面临三个难点：一是怎样想到先研究这个公式；二是怎样猜想、发现这个公式；三是怎样证明这个公式第一，教学目标定位高、立意新人不是一生下来就聪明的，而是通过不断教育变得聪明起来数学是思维的体操，数学教育应该在促进学生思维发展方面承担更多的责任本节课以两角差余弦公式的探究为载体，以培养和发展学生的思维为教学的着力点，进行了精心的、富有创意的设计具体表现在：(1)紧紧抓住思维的“关键点”来“教思维”既重视问题提出的自然性与合理性，也重视问题解决的自然性与合理性(2)教学重心前移强化了公式的发现和证明的过程整节
2、课四分之三左右的时间用于问题的提出、猜想的发现、证明思路的探讨(3)强化了学生对数学思想方法和思维方法的感悟教学中，教师在公式证明后和课堂小结时两次引导学生对探究的思路和方法进行总结(4)针对通常作业中存在的模仿性太强，而创新性不足的问题，教师将通常的单纯做课后习题改为探究性、创新性作业，包括两角和余弦公式证明的探究、两角和与差正弦公式证明的探究，真正体现了学生自主探究知识、构建知识的教学理念 作业分层次，并给学生一定的自主选择的空间，体现了让不同的学生学不同的数学、得到不同的发展的理念(5)借用名家名言对学生进行数学精神和数学文化的熏陶，激发学生探究和创新的积极性第二，教学设计遵循教材、超越
3、教材本节课在遵循教材总的设计思路、框架的前提下，在一些具体的细节上作了调整遵循教材体现在：一是学习的内容、要求没有变；二是探究的整个框架没有变，第一步是猜想结果，第二步是证明结果，并且猜想和证明的思路也没有变超越教材体现在：一是问题的引入作了调整教材由实际问题引入，显得有些生硬，并且离本节课的主题较远，学生理解起来比较吃力、费时，而教师改成由诱导公式直接引出，显得自然、干脆二是研究和思维的切入点作了调整教材直接提出两角差的余弦公式问题，回避了为什么要先研究这个问题、怎样想到先研究这个问题，而教师处理是先探究得出两角和的正弦余弦公式，在正弦公式证明思维受阻、余弦公式与向量数量积公式相近的情况下，
4、自然地发现两角差的余弦公式三是在对简单情况进行讨论得出猜想的细节上作了改进教材是作角、，但教师在处理时是作角、+，从而使得探究的思路更加自然、更贴近学生的原有知识结构四是根据学生的实际水平，对课外作业做了调整和补充第三，数学思维展开如高山流水，自然、流畅本节课教师在问题的提出、解决、拓展等方面都十分注意这一点教师紧紧抓住思维的 “关键点”，非常重视引导和帮助学生搞清楚“为什么”和“怎样想到”这两方面的问题：如为什么要研究这个问题，用怎样的思路和方法研究这个问题，如何用特殊值推翻初步猜想，怎样想到在角都是锐角的情况下放在直角三角形中讨论，怎样想到要作这样的辅助线，怎样观察与联想，怎样想到用向量的
5、数量积公式证明猜想，如何完善证明的思路与方法，怎样拓展问题，等等整个课教师真正做到了让数学思维在教学中自然地流淌，达到了有效“教思维”的目的第四，探究过程真实、自然，师生互动充分学生在教师的指导、帮助下，自己提出接近研究水平的真实问题，再用接近研究水平的方式进行探究这突出表现在：一是关注问题的提出和解决的自然性与合理性，采用了课堂随机生成、自然进入的方式先解决两角差的余弦公式，力求还原真实的、曲折的探究过程，再现了科学研究中经常遇到的“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的现象；二是在搞清楚探究和解决问题的大框架、证明的主导思想的前提下进行探究，避免了探究的盲目性，同时有助于学生思维的发展；三是在
6、整个探索过程中充分体现了“证明与反驳”的思想：提出初步猜想-举反例反驳-再次提出新的猜想-取任意角验证-给出严格的逻辑证明-得到数学公式课堂上，教师注意保证学生思考、讨论的时间，让学生充分表达自己的观点、看法、思路与感悟，真正做到了学生在教师的指导下自主探究、建构知识另外，教师力求通过波利亚、高斯等大家的名言，来强化一般性的探究的思路与方法，激发学生探究的欲望，增强他们探究的信心第五，有效地利用了难点，突破了难点，突出了重点教师教学时不仅把着力点放在猜想提出和猜想证明思路的寻找上，并且围绕学生的思维难点进行了有效的指导，达到了利用难点、突破难点、突出重点、发展思维的目的例如在发现猜想遇到困难的
7、时候，指导学生以退为进，从简单的、特殊的情况开始探究；在对角为锐角的情形进行讨论时，指导学生化陌生为熟悉，把角放在直角三角形中，并用“割补法”求出两角和正弦、余弦的三角函数线；在已经得到探求结果的情况下，指导学生通过观察表达式的组成及其结构特征，联想到单位圆上点的坐标、向量的数量积公式，进而转化为向量问题加以解决；在证明思路初步基本明确但不够清晰、完整的情况下，指导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别，进而给出严格的证明另外，为了使课堂上的生成更自然，过程更充分，并有效地突破难点，教师把重要的探究过程、推理过程都在黑板上板书，而不是用多媒体播放总之，要上一节亮点纷呈、高品质、高效益的数学课，还有待我们的好好探究，不断学习！