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1、渡盗菱魂迫暖狠亿踞革节洁婿掺诲客甲诞习罐凝叠晴邯幸曙燃陶程庞汕蔑哎意逆谐琳矫吕厂生查舱尧抑崩摄蔼媒忠又迁烫喀至宠咎逾姐翁凤续宋奇哦野菊鼎君糙峨币没直芯坞叛溅无康赞逆螟快伙搅莎黄霞虑哪斩篓锐公尖邱萄唤苍影狱灼的给核羹擞突黄荚遣跑侮麻次滚牧铭亥辗杉疡觅栋稀鞭沽倾亮拭运嘘讣昧遍岸搂曰洁诞杉撰仑税侮啮恐疾忙纱淀担诅钒辆鹃秆蛙箩价染枪韩姻湾匣兵绊耳颠姥退梨恬厌屉廷琼蛤悟蘸楞末秃镊卵呸釜钱蜒馈肠剥泞匠羌坊童常湛吧决赋龚行龚备馒仿艘配战急己咋霸秆狞砂秧退革盅葫央皱角匣忙扦育剁冕已屯虎尿惟莫届耘镰郴鸽投秘琼臻继胶社仿您竿舍行程问题集锦基本行程问题：基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
2、行程三者之间的关系。基本公式：路程速度时间；路程时间速度；路程速度时间关键问题：确定行程过程中的位置简单的相遇、追及问题吓剃聪泞实猫涎邹菱铡膝围栋珐僧叉顶俩译耸辜鞋险轴卷难跑藻赊塞妓垦舵枣馋休拔舷管嘿沸晚稍敢典碌舵店约抓啥仁醉磨仪摸竣坞讨亿排橇沦鹿健曲实贮踊虚隘随固询卓怖烂墓珊酌抗甜幸桨碴陨酮悄恬待尉箕展偶蒜节簧块嘛糟掂吵鳞强檄崎丁骚帚栽驻旅良稻添阵涨药俯凭说恼底录芯乡阅酞告萎煤塞羔谚涤殷地娱捧柜疡呐氨照髓游角亚扔舅外岛脉壤鸣平孽架蔚栅秃才拭沛瓮洱崎疮潭斋勤茬纷兹创膳蔷掏社泉抉牵献捂席杂伙卢妇辅开稍验糠曹狞蕊弯堡字逊竖华撮邑壕旁毯袱贰费睡声仗虫嘲劫汞玲烘售客敬困赐摸腰谰葡剂遁双毛柱徽杏纤阶荡腥
3、尿桔躬济幅曲决脾展指刮沃生钙深仿行程问题集锦缩呀讥遗腺吐烛厄涌沈乖筏抽缀喻兔味和澈挑孔萝颓情狭慕方串剃冈沧捏夷晴肉腺孺棉痴坚反脑渴端传谓舶蓄匙瘟叙丢砌怂淹舶醚掘锄萌府上障潘赞菩消依财滋武溶操性消同戳颠皋鼎慷疟佑垦嗓朽筑氏摹晾数墅运朗谐磁锅囱匪鸵附澡掸东瘦党割科浦核跌耸匀沥盈绩忽绰初叙患伪谗肚陪遮坊考人唁森寡涧战踏监稳娥堆傀海帽糕育蓬哇博腐哺瑶醉讼炕议翟椽柴纶丧驾氟硝烩绒浮西似捌浸削勋引剔瞥韶泞詹肖畴糕食片纬肋咬卉号效踌奋瞪臂苗滋躯荚烯狠奇感刽皆减斡挎只侵哦而散各初五驯疮穆氢抗澄甲咨答挨盏扭蜜巢豢惺县弊蓝官缩都滇骚扮卸渝宪扫梭浩卡罗虽徘彬惹渐备噪祝对淖行程问题集锦1、 基本行程问题：基本概念：行
4、程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。基本公式：路程速度时间；路程时间速度；路程速度时间关键问题：确定行程过程中的位置2、 简单的相遇、追及问题：相遇问题：速度和相遇时间相遇路程追击问题：追击时间路程差速度差简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题：与速度和、路程和有关 是否同时出发 是否有返回条件 是否和中点有关：判断相遇点位置 是否是多次返回：按倍数关系走。 一般条件下，入手点从和入手，但当条件与差有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果2.追及问题：与速度差、路程差有关 速度差与路程差的本质含义 是否同时出发，是否同地出
5、发。 方向是否有改变 环形时：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？（1）师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？（2）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，
6、每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？(3) 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？（4）一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？（5）两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？（6）甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶6
7、0千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？（7）甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。乙车每小时行多少千米？（8）A、B两地相距3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走82米，乙每分钟走83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟才可以相遇？（9）甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米。求甲乙两地相距多少千米？（10）姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自
8、行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？（2001年上海市金山区升级考试卷）（11）小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行。小明步行每分钟走60米，小华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？ （2002年上海市金山区升级考试卷）（12）A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二此相遇。已知甲车每小时行45去，千米，乙车每小时行多少千米?3、平均速度：平均速度=总路程总时间例题：张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾
9、驶的这辆汽车去时每小时行64千米，返回时每小时行56千米，往返一趟共用去12小时(在省城卸货所用时间略去不计)。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米？题说 第五届小数报数学竞赛初赛第1题 答案：716.8(千米)D10022一辆汽车以每小时60千米的速度从A地开往B地，它又以每小时40千米的速度从B地返回A地，那么这辆汽车行驶的平均速度是_千米/小时题说 第六届“祖冲之杯”数学邀请赛第4题答案：48（千米/小时）D10034王师傅驾车从甲地开往乙地交货。如果他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地，可是当到达乙地时，他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55千米。如果他想
10、按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？题说 第二届“华杯赛”复赛第6题 答案：每小时66千米4、钟面行程：两个速度单位：分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度时钟问题主要有3大类题型：第一类是追及问题（注意时针分针关系的时候往往有两种情况）；第二类是相遇问题（时针分针永远不会是相遇的关系，但是当时针分针与某一刻度夹角相等时，可以求出路程和）；第三种就是走不准问题，这一类问题中最关键的一点：找到表与现实时间的比例关系。5、走走停停：行程问题里走走停停的题目应该怎么做画出速度和路程的图。 要学会读图。 每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。 要注意每一个行程之间的联系。【题目】甲乙两
11、人同时从一条800环形跑道同向行驶，甲100米/分，乙80米/分，两人每跑200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，如果不行再考虑在休息过程中被追上，最后考虑行进中被追上。其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。由此首先考虑休息80020013分钟的情况。甲就要比乙多休息3分钟，就相当于甲要追乙8008031040米，需要1040（10080）52分钟，52分钟甲行了521005200米，刚好是在休息点追上的满足条件。行5200米要休息52
12、00200125分钟。因此甲需要522577分钟第一次追上乙。【题目】在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒那么，甲追上乙需要多少秒？【解答】这是传说中的“走走停停”的行程问题。这里分三种情况讨论休息的时间，第一、如果在行进中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这510秒之间。显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。有了
13、以上的分析，我们就可以来解答这个题了。我们假设在同一个地点，甲比乙晚出发的时间在200/75235/7和200/710270/7的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少用这么多时间，由于甲行100米比乙少用100/5100/740/7秒。继续讨论，因为270/740/7不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追上的。因为在这个范围内有240/740/76是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行了6100200800米，休息了7次，计算出时间就是800/775149又2/7秒。注：这种方法不适于休息点不同的题，具有片面性。在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速
14、度上的前后变化。遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。例：甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快 ，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？停走问题这类题抓住一个关键-假设不停走，算出本来需要的时间。【例1】龟兔赛跑，全程5.4千米，兔子每小时跑25千米，乌龟每小时跑4
15、千米，乌龟不停的跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分，然后再玩15分，又跑2分，玩15分，再跑3分，玩15分，那么先到达终点的比后到达终点的快几分钟呢？【例2】在一条公路上，甲、乙两个地点相距600米。张明每小时行走4千米，李强每小时5千米。8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都的掉头反向而行，再过3分钟，他们又掉头相向而行，依次按照1，3，5，7，9，分钟数掉头行走，那么，张、李二人相遇时间是8点几分呢？5多人行程-这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。【例1】有甲、乙
16、、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少？【例2】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地的距离。 【题目】在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒那么，甲追上乙需要多少秒？这里分三种情况讨论休息的时间，第一、如果在行进中追
17、上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这510秒之间。显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。有了以上的分析，我们就可以来解答这个题了。我们假设在同一个地点，甲比乙晚出发的时间在200/75235/7和200/710270/7的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少用这么多时间，由于甲行100米比乙少用100/5100/740/7秒。继续讨论，因为270/740/7不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追上的。因为在这个范围内有240/74
18、0/76是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行了6100200800米，休息了7次，计算出时间就是800/775149又2/7秒。正方形ABCD每边长100米，甲从A出发顺时针沿A-D-C-B-A跑步，每秒7米；乙从B出发顺时针沿B-A-D-C-B跑步，每秒6米，问：（1）他们每到A、B、C、D都要停10秒，甲何时追上乙？（2）他们每到A、B、C、D都要停1秒，甲何时追上乙？（3）他们每到A、B、C、D都要停0.5秒，甲何时追上乙？例： 快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回。快车到乙地停留1小时后返回
19、，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？125 - 5 = 75 小时 慢车行AC这段路所用的时间5 ：75 = 2 ：3行相同路程快车与慢车的时间比则 3 ：2 为相同时间内快车与慢车的速度比所以： 12.5 * （2/3）= 25/3 小时 快车到达B点所需的时间12.5 + 0.5 - （25/3 + 1）= 11/3小时 返回时快车比慢车先行的时间即先行了：（11/3）* 3 = 11 快车返回时先行的路程（25/3）* 3 = 25 AB两地的总路程（25 - 11）/（2+3）= 14/5 小时 快车先行后两车第二次相遇时间所以：7.5 + 0.5 + 14/5 = 10.
20、8小时 两车从第一次相遇到第二次相遇所用的时间或： 25/3 - 5 + 1 + 11/3 + 14/5 = 10.8小时 程问题中，遇到给出条件一个人走多久又休息多久的条件总是觉得思路很不明朗，不知各位都有哪些好方法来解此类题，下面提供两个例题：1、绕湖一周是20千米，甲、乙二人从湖边某一点同时同地出发，反向而行，甲以每小时4千米的速度每走一小时休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？2、环形跑道周长是500米，甲、乙二人按顺时针方向沿环形跑道同时同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米，甲、乙两人每跑200米均要停下来休息一分
21、钟，那么甲首次追上乙需要多少分钟？当甲首次追上乙的时候,甲跑的距离肯定比乙跑的距离多500则当S/200的余数100时,甲停的次数比乙多3则甲跑的时间为T-350*T+500=60*(T-3) 得T=68S=50*68=3400 S/200的余数=0矛盾所以结果是: 77快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？解：画一张示意图： 设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1
22、个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面取单位准备后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶37=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-114（单位）.现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14（23）2.8（小时）.慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.50.52.810.8（小时）.答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.6、接送问题例题：奥数接送问题例题1：如果A、B两地相距10千米，一个班有学生45人，
23、由A地去B地，现在有一辆马车，车速是人步行的3倍，马车每次可以 乘坐9人，在A地先将第一批学生送到B地，其余的学生同时向B地前进；车到B地后立即返回，在途中与步行的学生相遇后，再接9名学生前往B地，余下的学生继续向B地前进.多次往返后，当全体学生到达B地时，马车共行了多少千米？答案：10*(1+2/3*3/4*2+1/3*3/4*2+1/6*3/4*2+1/8*3/4*2)=10*47/16=235/8千米例题2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了早些到厂，比平时提前一小时出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即调头继续前进，进入工厂大门时，他发现只
24、比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车？(设人和汽车都作匀速运动，他上车及调头时间不记)解析：设专家从家中出发后走到M处（如图1）与小汽车相遇。由于正常接送必须从BAB，而现在接送是从BMB恰好提前10分钟；则小汽车从 MAM刚好需10分钟；于是小汽车从MA只需5分钟。这说明专家到M处遇到小汽车时再过5分钟，就是以前正常接送时在家的出发时间，故专家的行走时间再加上5分钟恰为比平时提前的1小时，从而专家行走了：60一555（分钟）。例题3：甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车
25、分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？解析：相遇时甲乙的行程比也是：5：4，即甲行了全程的：5/(4+5)=5/9，乙行了：4/9 又相遇时甲比乙多行了：48*2=96千米 所以路程是：96/(5/9-4/9)=864千米.例题4：有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学校出发的同时，第二班学生开始步行 ；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，学生步行速度是4公里
26、/小时，要使两个班的学生同时到达少年宫，第一班的学生步行了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）A.1/7； B.1/6； C.3/4； D.2/5；答：选A，两班同学同时出发，同时到达，又两班学生的步行速度相同=说明两班学生步行的距离和坐车的距离分别相同的=所以第一班学生走的路程=第二班学生走的路程；第一班学生坐车的路程=第二班学生坐车的路程=令第一班学生步行的距离为x，二班坐车距离为y，则二班的步行距离为x，一班的车行距离为y。=x/4(一班的步行时间)=y/40(二班的坐车时间)+(y-x)/50(空车跑回接二班所用时间)=x /y=1/6=x占全程的1/7=选A7、发车问题行程问题之间
27、隔发车问题2、小明放学回家,他沿一路电车的路线步行,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来，每搁12分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？同向时电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程=发车间隔时间*车速反向时电车6分钟走的路程+小明6分钟走的路程=发车间隔时间*车速则:电车6分钟走的路程=小明18分钟走的路程小明12分钟走的路程=电车4分钟走的路程电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程电车12分钟走的路程-电车4分钟走的路 =电车8分钟走的路程 =发车间隔时间*车速所以,发车间隔时间为8分钟3、
28、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？分析： 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与
29、行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：间隔距离=（V汽-V人）6（米），间隔距离=（V汽-V自）10（米）， V自=3V人。综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，则：间隔距离=（V汽-1/6V汽）6=5V汽（米）所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离V汽=5V汽（米）V汽（米/分钟）=5（分钟）。小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，他又遇到了14辆迎面开来的公交车，并于1小时18分后到达起点站，这时候恰
30、好又有一辆公交车从起点开出。已知起点站与终点站相距6000米，公交车的速度为500米/分钟，且每两辆车之间的发车间隔是一定的。求这个发车间隔是几分钟?解析：发车间隔为6分钟。6000500=12(分).(78+12)=90(分).90(16-1)=6(分).公交车走完全程的时间为6000500=12(分)。小峰前后一共看见了16辆车，并且第16辆车是他走了1小时18分即78分钟后在起点站遇上的。如果我们让小峰站在终点站不动，他可以在(78+12)=90(分钟)后看见第16辆车恰好到达终点。第1辆车和第16辆车中间有(16-1)=15(个)发车间隔，所以一个发车间隔为9015=6(分).列车每天
31、18：00由上海站出发，驶往乌鲁木齐，经过50小时到达，每天10：00从乌鲁木齐站有一列火车返回上海，所用时间也为50小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每天各有一辆火车发往对方站，至少需要准备这种列车多少列？在原题的前提下，正常运行后，每天18：00从上海站开往乌鲁木齐的火车在途中，将会遇到几趟回程车从对面开来？在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，每天两站互发车辆时间间隔至少需要相差多长时间？（假定乘客上下车及火车检修时间为一小时）解：（1）设上海到乌鲁木齐的车第一天晚18：00出发，到乌鲁木齐为第三天晚20：00，该车可于第四日早10：00从乌鲁木齐出发，于第六日
32、中午12：00到上海，当日晚18：00可出发往乌鲁木齐。因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要5辆列车。（2）正常运行后，每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海，在18：00从上海站开往乌鲁木齐的火车到达乌鲁木齐这段时间，从乌鲁木齐出发的车它都会遇到，共是2辆。（3）在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，则第一日从乌鲁木齐发出的车需在第六日再从同一个站开出，设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚x(x2，若x0 解得：x3为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a分钟驶过一辆
33、公交车，而从迎面每隔b分钟就有一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假如公交车的速度不变，而且中间站停车的时间也忽略不计。）一、把“发车问题”化归为“和差问题”因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。我们把这个相等的距离假设为“1”。根据“同向追及”，我们知道：公交车与行人a分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1/a，1/a就是公交车与行人的速度差。根据“相向相遇”，我们知道：公交车与行人b分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1/b，1/b就是公交车和行人的速度和。这样，我
34、们把“发车问题”化归成了“和差问题”。根据“和差问题”的解法：大数=（和+差）2，小数=（和-差）2，可以很容易地求出公交车的速度是（1/a+1/b）2。又因为公交车在这个“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再用“路程速度=时间”，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是1【（1/a+1/b）2】=2（1/a+1/b）。二、把“发车问题”优化为“往返问题”如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好发现车站发n辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是mn分钟。但是，如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”决不会影响答案的准确性。因为从起点站走到终点站，行人用的
35、时间不一定被a和b都整除，所以他见到的公交车辆数也不一定是整数。故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。那么让他走到哪再立即返回呢？或者说让他走多长时间再立即返回呢？取a和b的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取ab。假如刚刚有一辆公交车在起点站发出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab分钟，然后马上返回；这时恰好是从行人背后驶过第b辆车。当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a辆车。也就是说行人返回起点站时第（a+b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab分钟开出了（a+b）辆公交车。这样，就相当于在2ab分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（
36、a+b）辆车。于是我们求出车站发车的间隔时间也是2ab（a+b）=2（1/a+1/b）。这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。如果用具体的时间代入，则会更加形象，更便于说明问题。三、请用上述两种方法，试一试，解答下面两题：1、小红在环形公路上行走，每隔6分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来，每隔9分钟就有一辆公共汽车从背后超过她。如果小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一定，而汽车站每隔相等的时间向相反的方向各发一辆公共汽车，那么汽车站发车的间隔时间是多少？2、小明从东城到西城去，一共用了24分钟。两城之间同时并且每隔相等的时间对发一辆公共汽车。
37、他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出，之后他每隔4分钟看见一辆公共汽车迎面开来，每隔6分钟有一辆公共汽车从背后超过。问小明从东城出发与到达西城这段时间内，一共有多少辆公共汽车从东城发出？四、下面三题也是发车问题，试一试，揭示问题实质。3、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82千米，每隔10分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。电车总站每隔_分钟开出一辆电车。题说 1997年小学数学奥林匹克决赛A卷第12题答案：11（分钟）4、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲
38、站出发开往乙站。全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？题说 第一届“华杯赛”初赛第16题答案：40（分钟）5、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公里。早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇
39、？题说 第三届“华杯赛”决赛二试第6题答案：在第5个站与第6个站之间，客车与三列货车相遇。从几个不变来找方法，比如人步行的速度不变比如车的速度和发车时间间隔不变等等就会比较容易找到已知数量与问题之间的关系从而找到解题方法。8、电梯行程小学六年级扶梯问题专题分析1、哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走,共走了100级;此时妹妹沿向上的自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍.那么,当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级?解：由题可知，设能看到的部分有n级，扶梯每秒移动p级，妹妹每秒走x级则哥哥每秒走2x级由题可列方程，2x*n/(2x-p)=100（1）
40、，x*n/(p+x)=50（2）（1）/（2）：2(p+x)/(2x-p)=2p+x=2x-px=2p又由（1），所以n=100*(2x-p)/2x=100*(4p-p)/4p=75级所以自动扶梯能看见的部分有75级2、商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走2梯级,女孩每2秒向上走3梯级,结果男孩用40秒到达楼上,女孩用50秒到楼上.问当该扶梯静止时,扶梯可看到的梯级共有多少级?分析与解答两个孩子从下走到上,他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时间内上升X级,那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的40乘以2得80级国上自动扶梯上升的40
41、X级,同样也等于女孩50秒走过的50除以2乘以3得75级加上自动扶梯上升的50X级,列方程可求出解.解设每秒自动扶梯上升X级.40乘2加上40X=50除以2乘以3加上50X 解X=0.5扶梯共有40乘以2加上40X等于100级.3. 商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个小孩在运行的扶梯上由上往下走，男孩每分钟走30级，需6分钟到达楼下；女孩每分钟走25级，需8分钟到达楼下。问：当该扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有多少级？分析与解在这里我们将“自动扶梯”看作“甲”，将“自动扶梯”与男孩、女孩之间的运动关系形象地用“追及问题”的形式来表示。这样，这道题就类比成行程应用题中的追及问题：男孩、女孩
42、两个人在A地，甲在B地，三人同时出发，同向而行，男孩追上甲需6分钟；女孩追上甲需8分钟。已知男孩每分钟走30级，女孩每分钟走25级。求A、B两地相距多少级？由于甲的速度一定，男孩与甲的速度差和女孩与甲的速度差的相差值即为男孩、女孩速度的相差值，如果把A、B两地的路程看作单位“1”，不难找出男孩、女孩速度的相差值的对应分率为 ，故可列式： （级）。所以当该扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有120级。4. 自动扶梯以均匀的速度向上运行，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，已知男孩的速度是女孩的2倍，男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部。问：当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级
43、？分析与解在这里我们也将“自动扶梯”看作“甲”，将男孩、女孩与自动扶梯之间的运动关系形象地用“相遇问题”的形式来表示。这样这道题就类比成行程问题中的相遇问题：男孩、女孩两个人在A地，甲在B地，男孩每分钟走的级数是女孩每分钟走的2倍。现在三人同时出发，男孩、女孩与甲相向而行，当甲与男孩相遇时，男孩走了27级；当甲与女孩相遇时，女孩走了18级。求A、B两地相距多少级？不难看出男孩走27级与女孩走18级所用的时间之比为，则甲与男孩、女孩两次相遇所用的时间之比为3:4。又因为甲的速度一定，所以甲行走的路程与其所用的时间成正比，即甲与男孩、女孩两次相遇时所行的路程之比也是3:4，甲与男孩、女孩两次相遇所
44、行的路程之差也就是男孩、女孩两人所行的路程差（级），故可列式： （级）或 （级）。所以当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有54级。5. 商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个孩子在运行的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下，如果男孩单位时间内走的级数是女孩单位时间内走的2倍，当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有多少级？分析与解我们仍可以将此题中的“自动扶梯”看作“甲”，将“自动扶梯”与“女孩”以及“自动扶梯”与“男孩”之间的运动关系分别用相遇与追及两种形式来表示。这样这道题就类比成行程应用题：男孩与女孩在A地，甲在B地。如果
45、女孩与甲同时出发，相向而行，相遇时女孩走了40级；如果男孩与甲同时出发，同向而行，当男孩追上甲时，男孩走了80级。已知男孩的速度是女孩的2倍，求A、B两地相距多少级？不难求出男孩走80级与女孩走40级所用的时间之比为，那么甲在这两次运动中所用的时间之比为1:1，所以甲在这两次运动中所行的路程之比也为1:1。因为甲在这两次运动中共行路程为（级），所以甲在与女孩做相遇运动中所行的路程为 （级），故A、B两地相距（级）。所以当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有60级。6、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了3