1、 高三数学圆锥曲线专题一知识要点1、直线的斜率公式：为直线的倾斜角两种常用的直线方程：1点斜式2斜截式2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：几何法常用方法假设圆心到直线的距离为直线与圆相切 直线与圆相交 直线与圆相离 代数法 由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：直线与圆相切 直线与圆相离 直线与圆相交 3、圆的弦长 假设圆心到弦的距离为.4、圆锥曲线的定义包括长轴，短轴，实轴，虚轴，离心率，双曲线的渐近线等)1椭圆：2双曲线：3抛物线：5、点和椭圆的关系：1点在椭圆外；2点在椭圆上1；3点在椭圆6、直线与圆锥曲线的位置关系：由直线方程与圆锥曲
2、线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：1相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。2相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；3相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。提醒：1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线
3、的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点7、弦长公式：假设直线与圆锥曲线相交于两点、，且分别为、的横坐标，则，假设分别为、的纵坐标，则，假设弦所在直线方程设为，则二例题分析题型1：圆锥曲线定义的问题例题1.07年高考在平面直角坐标系中，圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为1求圆的方程；2试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由变式1：2021年一模圆，圆，圆,关于直线对称.1求直线的方程；2直线上是否
4、存在点，使点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.变式2：2021年一模椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为， 且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 假设存在，指出这样的点有几个不必求出点的坐标； 假设不存在，说明理由.题型2:圆锥曲线的定值问题例题2：2021年二模椭圆过点，且离心率为.1求椭圆的方程；2为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.变式1：2021年一模椭圆上任一点到两个焦点的距离的
5、和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点.求椭圆的标准方程；假设与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；题型3：直线与圆的位置关系问题例题3.2021年一模动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线圆的圆心是曲线上的动点, 圆与轴交于两点，且. 1求曲线的方程； 2设点2,假设点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系, 并说明理由.变式1：2021年一模，1假设，求的外接圆的方程；2假设以线段为直径的圆过点异于点，直线交直线于点，线段的中点为，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论题型4：直线与圆锥曲线位置关系问题例题4.2021年高考在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且
6、点在上（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程变式111二模椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，求、的值；假设动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值围题型5：圆锥曲线的相关最值围问题例题5.2021年高考抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值变式1：2021年一模动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为1求动点的轨迹的方程；2设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称，假设，求的最小值变式2
7、2021年一模在平面直角坐标系中，点，过点作抛物线的切线，其切点分别为、其中求与的值；假设以点为圆心的圆与直线相切，求圆的方程；过原点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形面积的最大值.题型6：综合性问题例题6.2021年一模椭圆的左、右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点1求曲线的方程；2设点、的横坐标分别为、，证明：；3设与其中为坐标原点的面积分别为与，且，求的取值围参考答案例1、解：1设圆心坐标为m，nm0，则该圆的方程为该圆与直线y*相切，则圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2即4， 又圆与直线切于原点，将点0，0代入，得m
8、2n28 联立方程和组成方程组解得，故圆的方程为25，a225，则椭圆的方程为其焦距c4，右焦点为4，0，则4要探否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆与1所求的圆的交点数通过联立两圆的方程解得*，y即存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长变式1、解：1因为圆,关于直线对称，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， 2分显然直线是线段的中垂线， 3分线段中点坐标是，的斜率是， 5分所以直线的方程是，即. 6分2假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为，所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上， 即点
9、在曲线上， 10分又点在直线上，点的坐标是方程组的解， 12分消元得，方程组无解，所以点的轨迹上是不存在满足条件的点. 14分变式2、(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: 2分 椭圆的方程为. 3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， 1分， . 2分 椭圆的方程为. 3分(2)解法1：设点,，则，三点共线,. 4分, 化简得：. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 7分同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 8分 设点，由得：，而，则 . 9分代入得 ， 10分则，代入 得 ，即点的轨迹方程为. 11分假设 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，12分直线经过
10、椭圆一点,直线与椭圆交于两点. 13分解法2：设点,，由,即得. 4分抛物线在点处的切线的方程为，即. 5分， .点在切线上, . 6分同理， . 7分综合、得，点的坐标都满足方程 . 8分经过两点的直线是唯一的，直线的方程为， 9分点在直线上， . 10分点的轨迹方程为. 11分假设 ，则点在椭圆上，又在直线上，12分直线经过椭圆一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 4分设,则. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 7分， . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 8分由解得. 10分,点
11、在椭圆上. 11分.化简得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个. 14分满足条件 的点有两个. 14分例2、解：1由题意可知， 1分而， 2分且. 3分解得， 4分所以，椭圆的方程为. 5分2.设， 6分直线的方程为，令，则，即； 8分直线的方程为，令，则，即； 10分12分而，即，代入上式， 所以为定值. 14分变式1、解：由题意得， -1分又，故椭圆的方程为； -3分设，则，即， 则， -4分即，为定值-8分例3、(1)解法1: 设动点的坐标为,依题意,得, 即, 2分 化简得:,曲线的方程为. 4分 解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离
12、相等， 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线. 2分曲线的方程为. 4分2解: 设点的坐标为,圆的半径为， 点是抛物线上的动点,(). 6分. ,则当时,取得最小值为, 8分 依题意得 , 两边平方得, 解得或(不合题意,舍去). 10分,即.圆的圆心的坐标为. 圆与轴交于两点，且,. 12分点到直线的距离,直线与圆相离. 14分变式1、解：1法1：设所求圆的方程为，由题意可得，解得，的外接圆方程为，即-6分法2：线段的中点为，直线的斜率为，线段的中垂线的方程为，线段的中垂线方程为，的外接圆圆心为，半径为，的外接圆方程为-6分法3：，而，的外接圆是以为圆心，为半径
13、的圆，的外接圆方程为-6分法4：直线的斜率为，直线的斜率为，即，的外接圆是以线段为直径的圆，的外接圆方程为-6分2由题意可知以线段为直径的圆的方程为，设点的坐标为，三点共线，-8分，而，则，点的坐标为，点的坐标为，-10分直线的斜率为，而，-12分，直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切 -14分例4、解：(1):依题意：c=1,1分则：,2分设椭圆方程为：3分将点坐标代入，解得：4分所以 故椭圆方程为：5分2设所求切线的方程为：6分消除y7分化简得：8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y得：9分化简得：10分将代入解得：解得：12分故切线方程为：14分变式1、解：1
14、证明：将，消去*，得 3分由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得所以 5分2解：设由，得 7分因为 8分所以， 消去，得 化简，得 11分因F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a21 代入式，解得 13分所以，椭圆的方程为 14分例5、【解析】1依题意，解得负根舍去抛物线的方程为；2设点,，由,即得. ks5u抛物线在点处的切线的方程为，即. ， .点在切线上, . 同理， . 综合、得，点的坐标都满足方程 . 经过两点的直线是唯一的，直线的方程为，即；3由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为变式1、1解：设点，依题意，有整理，得所以动点的轨迹的方程为2解：点与点关于原点对称，
15、点的坐标为、是直线上的两个点，可设，不妨设，即即由于，则，当且仅当，时，等号成立故的最小值为变式2、解析：由可得， -1分直线与曲线相切，且过点，即，或，-3分同理可得：，或-4分，-5分由知，,，则直线的斜率，-6分直线的方程为：，又，即-7分点到直线的距离即为圆的半径，即， -8分故圆的面积为 -9分四边形的面积为不妨设圆心到直线的距离为，垂足为；圆心到直线的距离为，垂足为；则-10分由于四边形为矩形.且-11分所以由根本不等式可得，当且仅当时等号成立. -14分例6、(1)解：依题意可得，A(1，0)、B(1，0)， 1分设双曲线C的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即b=2.所以双曲
16、线C的方程为. 3分(2)证法1：设点P(*1，y1)，T(*2，y2)，(*i0，yi0，i=1，2)，直线AP的斜率为k(k0)，则直线AP的方程为y=k(*+1). 4分联立方程组， 5分整理，得(4+k2)*2+2k2*+k24=0，解得*=1或，.所以，6分同理可得， 7分所以*1*2 =1.8分证法2：设点P(*1，y1)，T(*2，y2)，(*i0，yi0，i=1，2)，则， 4分因为kAP= kAT，所以，即， 5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以，即y12=4(*121)，y22=4(*221)， 6分所以，即， 7分所以*1*2 =1.8分证法3：设点P(*1，y1
17、)，则直线AP的方程为. 4分联立方程组， 5分整理，得(*1+1)2+y12 *2+2y12*+ y124(*1+1)2=0，解得*=1或. 6分将y12=4(*121)代入，得，即，所以*1*2 =1.8分(3)解：设点P(*1，y1)，T(*2，y2)，(*i0，yi0，i=1，2)，则，因为，所以(1*1)( 1*1)+y1215，*12+y1216，9分因为点P是双曲线在第一象限的点，所以1*12. 10分所以，所以， 11分由(2)知，*1*2 =1，即，设t= *12，则1t4，设，则，当1t0；当2t4时，f(t)0，所以函数f (t)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减. 因为f(2)=1， f(1)= f(4)=0，所以当t=4时，即*1=2时，. 12分当t=2时，即时，. 13分所以S12S22的取值围为0，1. 14分说明：，得S12S22ma*=1，给1分. z
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