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1、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标1. 掌握空间向量夹角概念及表示方法.2. 掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律 .3. 掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直 .知识点一空间向量数量积的概念思考 1如图所示，在空间四边形OABC中， OA 8， AB 6，AC 4， BC 5， OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量 OA与 BC的数量积？并总结求两个向量数量积的方法 .答案 BC AC AB， OA BC OA AC OAAB| OA| AC|cos OA， AC| OA|AB|cosOA， AB84cos 13
2、5 86cos 120 24 162.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时， 可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.思考 2等边中， 与的夹角是多少？ABCABBC答案120.梳理(1) 定义：已知两个非零向量a，b，则 |a|b|cos ， 叫做a，b的数量积，记作abab.(2) 数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律( a) b ( a b)交换律a bb a分配律a(b c) a b ac(3) 空间向量的夹角1定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作 OA a，OB b，则 AOB叫做向量a，b 的夹角，记作 a， b .
3、范围：a， b 0 ， . 特别地：当 a， b时， ab.知识点二空间向量的数量积的性质若 a， b 是非零向量，则a b? a b 0若a与b同向，则a |a| | | ；若反向，则abbb| a| |b|.两个向量数量积的性质特别地， aa | a|2 或 | a| a a若 为 a， b 的夹角，则 cos |a ba|b|a b| |a| |b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例 1(1) 下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. p2 q2 ( pq) 2；|p q| |p q| | p2q2| ；若 a 与 ( ab) c ( a c)
4、b 均不为 0，则它们垂直 .解此命题不正确.p2 q2 | p| 2|q| 2，而 ( p q) 2 (| p| |q| cos p，q ) 2 | p| 2|q| 2cos 2 p，q，当且仅当 p q 时， p2q2 ( p q) 2.此命题不正确.22|p q | |( p q) (p q)| | pq| |pq| |cos p q， pq | ，当且仅当 ( p q) (p q) 时， | p2 q2| | pq| |p q|.此命题正确 .a(ab) c ( ac) b a(a b) c a(a c) b ( a b)( a c) ( )(a) 0，a bc且 a 与 ( ab)
5、c ( ac) b 均为非零向量， a 与 ( a b) c ( ac) b 垂直 .(2) 设 a， b 120， | a| 3， | b| 4，求：2a b； (3 a 2b) (a 2b).解 a b | a| b|cos a，b， a b34cos 120 6. (3 a 2b) (a 2b) 3| a| 2 4a b 4| b| 23| a| 2 4| a| b|cos 120 4| b| 2，1 (3 a 2b) (a 2b) 39434( 2) 416 27 24 64 61.反思与感悟(1) 已知 a， b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2) 如果欲求
6、的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a a | a| 2 及数量积公式进行计算 .跟踪训练1已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 | a3b| 等于 ()A.7 B.10 C.13 D.4答案C解析|a 3b| 2 ( a 3b) 2 a2 6a b 9b2 1 6cos 60 9 13，|a 3b| 13.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例 2 已知长方体 1 11 1 中，1 2，4，E为侧面1 的中心，F为1 1 的ABCD AB C DABAAADABAD中点 . 试计算： (1) BC ED；(
7、2)BF AB； (3)EF FC.111解 如图，设 ， ，1，ABaAD bAAc则| a| | c| 2， | b| 4， a bb c ca 0.(1)122 16.BC ED1b ( ca) b | b| 42 112222(2)c a b ( c)|c| a|220.BF AB2a(3) 11111( ) 11|21| 2 2.b b a bcb a abEF FC2 c a 222a224反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积为 0. 向量的数量积不满足结合律 .跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求： ；(1)( OA OB
8、)(CA CB)(2)| OA OB OC|.解(1)() () ( 2)( ) ( ) ( OA OBCA CBOA OBOA OC OB OCOA OBOA OB OC322211cos 60 1 11cos 60 211cos 60 11cos 60 11.(2)| 2OA OBOC| OA OB OC 22 2 OA OB OC 2OAOB OB OC OA OC12 12 122 11cos 60 3 6.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1 利用数量积求夹角例 3已知 BB1平面 ABC，且 ABC是 B90的等腰直角三角形，?ABB1A1、 ?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且
9、相等，若，求异面直线1 与所成的角 .AB aBAAC解 如图所示 . BA1 BA BB1，AC AB BC， BA1 AC ( BA BB1) (AB BC)BA AB BA BC BB1AB BB1 BC.AB BC，BB1 AB， BB1 BC， 0， 1 0，1 0 且 a2.ABBCBBABBBBCBAAB2BA1 AC a .又BA1 AC | BA1| |AC|cos BA1，AC， a21cos BA1， AC2a2a 2.又 BA，AC 0 ， 180 ， BA， AC 120，11又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1 与 AC所成的角为60.反思与感悟利用向量求
10、异面直线夹角的方法4跟踪训练 3 已知：、分别是平面 的垂线、斜线，是PA在平面 内的射影，PO PAAOl ? ，且 l OA.求证： l PA.证明 如图，取直线l的方向向量，同时取向量 ， .aPOOA因为 l OA，所以 aOA 0.因为 PO ，且 l ? ，所以 l PO，0.因此 a PO又因为a 0， ( ) PA a PO OAaPO aOA所以 l PA.命题角度 2利用数量积求模 ( 或距离 )例 4如图所示，在平行六面体 11 1 1 中， 1， 2，1 3，90，ABCD A B CDABADAABADBAA DAA60，求 AC的长 .111解 ，因为 AC1 AB
11、 ADAA1 2 2 2 2 2 11111所以 AC (AB AD AA)AB AD AA 2( AB AD AB AA ADAA).因为 BAD90， BAA1 DAA160，所以 ， 90， ，1 ，1 60，AB ADABAAAD AA 213cos 60 23cos 60 ) 23.所以 AC 14 92(15 2 2 223，因为 AC1 | AC1| ，所以 | AC1| 23， | AC1| 即 AC1 23.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两
12、之间的夹角以及它们的模，利用公式| a| aa求解即可 .跟踪训练 4 如图，已知线段 AB平面 ，BC? ，CD BC，DF平面 ，且 DCF30，D与 A在 的同侧，若 ABBC CD2，求 A，D两点间的距离 .解 ADAB BC CD， 2 2 2 |AD| ( AB BC CD) | AB| |2 2BC| | CD| 2ABBC 2ABCD 2BCCD122(2 2cos 90 22cos 120 22cos 90 ) 8，|AD| 22，即 A， D两点间的距离为22.类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例 5如图，在空间四边形OABC中， OB OC， AB AC，求证： O
13、ABC.证明因为 OB OC， AB AC，OA OA，所以 OAC OAB，所以 AOC AOB.又OA BC OA(OC OB) OA OC OA OB 0，| |cos | |cos OAOCAOCOAOBAOBOA BC.所以 OA BC，即反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0 来判断两直线是否垂直 .(2) 证明与空间向量 a， b， c 有关的向量 m， n 垂直的方法先用向量 a，b， c 表示向量 m，n，再判断向量m， n 的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a， b 满足： | a| 2，| b| 2，且 a
14、与 2ba 互相垂直，则a 与 b6的夹角为 _.答案45解析 a 与 2b a 垂直， a(2 b a) 0，即 2a b | a| 2 0.2| a| b| cos a，b | a| 20，24 2cos a， b 4 0， cos a，b 2 ，又 a， b 0 ， 180 ， a 与 b 的夹角为 45.1. 已知 a，b，c 是两两垂直的单位向量，则| a 2b 3c| 等于 ()A.14 B.14 C.4 D.2答案B解析|a 2 3c| 2 |a| 2 4| 2 9|c| 2 4 6 12 14.bba ba cb c2. 在长方体 ABCD A B CD 中，下列向量的数量积一
15、定不为0 的是 ()1111A. AD B C B.BD AC C. AB AD D.BD BC11111答案D解析选项 A，当四边形 ADD1A1 为正方形时，可得AD1 A1D，而 A1DB1C，所以 AD1 B1C，此时有 AD1 B1C 0；选项 B，当四边形为正方形时，易得，可得平面1 1 ，故有1，此ABCDACBDACBBDDAC BD时BD1 AC 0；选项 C，由长方体的性质可得平面1 1，ABADDA故选 D.所以 AB AD1，所以 ABAD1 0.3. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，有下列命题： 2 2 ) 0； 的夹角为 60.( 1) 3；1 ( 1 1
16、 11与 1AAADABABA C A BA AAD A B其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0答案B解析 易知正确； AD1与 A1B的夹角为 120，不正确 . 故选 B.24. 已知 a，b 为两个非零空间向量，若| a| 22，| b| 2 ，a b2，则 a，b _.3答案47b23a解析cos a， b | a|b| 2 ， a， b 4 .5. 已知正四面体 ABCD的棱长为2， E，F 分别为 BC， AD的中点，则 EF的长为 _.答案2解析 | |2 2 ( ) 2EFEFEC CD DF 2 2 2 EC CD DF2(EC CDEC DF CD DF)1
17、2 22 122(1 2cos 120 021cos 120 ) 2，2， EF的长为2.|EF| 1. 空间向量运算的两种方法(1) 利用定义：利用a b | a| b|cos a， b并结合运算律进行计算.(2) 利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算 .2. 在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3) 代入 ab | a| b|cos a，b求解 .40 分钟课时作业一、选择题1. 设 a、 b 为空间的非零
18、向量，下列各式：22ab b222222a |a| ； a2 a；(ab)ab ；(a b) a2ab b . 其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B解析由数量积的性质和运算律可知是正确的，故选B.2. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是 BC的中点，那么 ()8 A. AE BCAE CDD.AE BC与 AE CD不能比较大小答案C解析易知 ， 0，1 () ( ) AEBCAEBCAECDAB BECD AB BD BC2BC CD1| AB|BD| cos120 | AB| |BC| cos 120 2| BC| |CD| cos 120AECD.3. 已知空间向
19、量a，b，c 两两夹角为60，其模都为 1，则 | a b 2c| 等于 ()A. 5 B.5 C.6 D.6答案A解析|a b 2c| 2 | a| 2 | b| 2 4| c| 2 2ab4a c 4b c12 12412211cos 60 411cos 60 411cos 60 5，| 2 | 5.abc4. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点、 、G分别是、的中aE FABAD DC点，则下列向量的数量积等于a2 的是 ()A.2 BA AC B.2 AD DB C.2 FGAC D.2 EF CB答案C221 2解析2BA AC a ，故 A 错； 2AD DB a ，故
20、 B 错； 2EFCB 2a ，故 D 错，只有 C正确 .5. 已知 a、 b 是异面直线， A、 Ba， C、 D b， ACb， BDb，且 AB 2， CD 1，则 a 与 b所成的角是 ()A.30 B.45 C.60 D.90 答案C解析ABAC CD DB，9 2 2 0 1，AB CD ( AC CD DB) CD AC CD CD DB CD 01又| | 2， | | 1.ABCDcos ，1 1. AB CDABCD212| AB|CD|异面直线所成的角是锐角或直角，a 与 b 所成的角是60.6. 已知在平行六面体ABCDA CD 中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角1111都是 60，则此平行六面体的对角线AC1 的长为 ()A.3 B.2 C.5 D.6答案D解析 AC AB ADAA，11 2 22 22 AC1 ( ABADAA1) ABAD AA1 2ABAD 2ABAA1 2AD AA11 1 12(co