等比数列的前n项和.docx

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1、等比数列前n 项和教学实录西安市 良区关山中学禄 佳一、 提出教 ：今天我 开始新的一 ，等比数列的前n 和公式。首先，我 一起来看一个有趣的故事。 古印度国王要 励国 象棋的 明者， 他有什么要求， 明者 ：“ 在第一个格子里放上1 粒麦子，在第二个格子里放上2 粒麦子，在第三个格子里放上4 粒麦子，在第四个格子里放上8 粒麦子，依此 推， 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2 倍，直到第 64 个格子。 我足 的粮食来 上述要求”。国王 得太容易了，就同意了他的要求. 你 得国王能 足他的要求 ？教 ：你 得国王能 足他的要求 ？想一下。大家 得能 是不能？有没有自己的想法。

2、学生： 不能。教 ：大家想一下，我 用什么 的方法去判断到底国王能不能 足他的要求呢?学生：把所有麦子的粒数加起来。教 ：有些同学 把所有麦子的粒数加起来。那么大家想，我 已 知道麦子是怎么放的，第一个格子里放 1 粒麦子，第二个格子里放2 粒麦子，到了第三个格子放4 粒麦子，在第四个格子里放8 粒麦子，那大家想一下，最后一个格子放多少粒麦子呢？学生： 263，264 。教 ： 64 是 63？学生： 63.教 ：大家想， 共是64 个格子，而它的 律是成什么数列的？学生：等比数列。教 ：第一个格子是一粒麦子，可以写成什么形式？0学生： 2 .教 ： 共有64 个格子，所以最后一个格子 是多少

3、？64学生： 2 。教 ： 在我 知道了每个格子的粒数，下来 怎么 呢？学生：把它 加起来。教 ：好，那我 的 来了，怎么 求 个等比数列的和呢？大家有没有方法？如果有可以 一下。我 在我 遇到的 个 ， 1+2+22+23+ +263，我 有什么方法可以解决呢 ?最基本的方法 , 可以怎么 ？学生：可以一个一个算。教 ： ，可以算。但前几 好算，到了后面就要借助什么？学生： 算器。教 ： 算器可以算，但是比 麻 ， 又 力。那么有没有一个 的方法呢？有，是吧。那有的同学把 本 的比 好， 得在 本上有两种思路去求解一个 ，不知道大家好有没有印象？ 上的 是 我 求前 30 和， S30 =1

4、+2+22+23+229 .教 ：大家 得那种思路 呢？学生：第二种方法。教 ：第一种方法 程看起来比 一些，第二种方法两行就 束了，比 。 种方法也是我 做 常会用到的一种方法，下来我 一起回 一下 种方法。 上的方法在求 个和 首先做了一个工作，是什么工作呢？学生： 个式子两 同乘以2.教 ： 那左 的式子就是2S30，右 的式子是2+22+23+ +230，然后呢，把两个式子分 式和式，1两个式子相减，左 是（1-2 ） S30 ，那右 怎么减?哪位同学来 一下, 好， 位同学 一下。2329学生 1：1+2+2 +2 +2 和第二个式子的前29 相同。教 ：大家 得他 的 ？学生：不

5、。教 ：那 来 充？同桌来 充一下。学生 2：2+22+23+ +229 和第二个式子的2+22+23+ +229 相同，两个式子想减。教 ：具体来 ， 是 2 减 2，22 减 22，依次 推，好，坐下。我 要注意的是，两式想减 不是 想减，而是第一个式子的第二 和第二个式子的第一 想减，第三 和第二个式子的第二 想减， 好是 开的，相减后就抵消完了， 第一个式子剩下1，第二个式子剩下230，所以等式右 成了 呢？学生： 1-2 30。教 ：那下来我 就能推出前30 和了。由此我 可以推出S30=230-1. 那我 用 种方法求出了前30 项和。我 把 种方法称 “ 位想减法”。 在大家想一

6、下，前30 和我 用 种方法求出来了，那么大家比 一下， 个 和我 的“麦粒 ”像不像。学生：像。教 ：只不 “麦粒 ”比 个 多一些 。那我 想一下“麦粒 ”会做了没有？学生：会了。教 ：好， 在我 大家拿出 本 着做一下，算一算我 “麦粒 ” 共有多少粒麦子，我 一位同学上黑板来做。考 一下， 得有把握就上去 一下，展示自己的成果。（一位学生展示自己的成果，教 巡 ）教 ：我 位同学算完了，我 看一下 果，多少呀？学生： 264-1.教 ：数字很大是吧，那具体是多少粒麦子呢？我 把答案 大家，264-1 1.84 1019，但是它的 位是什么？学生：粒。教 ：那大家能想象出1.84 101

7、9 粒麦子到底是多少麦子 ？学生：想象不来。教 ： 个数字看着是很大，但是具体多少麦子 是不好想，那我 可以把麦子的粒数 吨数，我 可以数 1000 粒称一下有多少克或斤，就可以 了，我 来看一下 果。多少吨？学生：哇！ 7000 吨！教 ：大 7000 吨，那再看一下，它可以干什么？从地球到太阳 一条 10 米、厚 8 米的大道，大 是全世界一年粮食 量的459 倍，那国王能 足 明者的要求 ?学生：不能。教 ：看完 个 大家有什么启迪？做事要？学生： 慎！教 ：三思？学生：而后行！教 ：那 在，我 通 “麦粒 ”求出了等比出列的前n 和，那我 能不能用 才的方法去解决下面 两个 呢？大家先

8、思考一下，可以 手开始做了， 两位同学到黑板上做。通 “麦粒 ”思考以下两个 ：(1) 如何求 Sn=1+2+22+23+ +2n-1 呢？(2) 如何求 Sn=1+3+32+33+ +3n-1 呢？（两位同学展示自己的成果，教 巡 ）教 ：两位同学已 做完了，大家先来看第一个，先 式乘了个2，式和式相减，注意抵消的 候是 和 抵消？学生： 2 与 2， 22 与 222教师：和刚才一样，抵消后，右边剩了一个1-2 n, 然后加以整理得出结果，做的很好。我们再来看第二个题，式乘多少了？学生：乘3.教师：乘 3 之后， 然后再想减， 和哪个一样， 还是错开， 减整理， 最后得到的结果和大家一样不

9、一？学生：一样。教师：好，大家再来看，为什么两位同学乘的数不一样呢？第一题式乘 2，第二题乘 3. 为什么第二题不乘 2 呢？哪位同学说一下原因？学生 3：因为给式子两边乘的是数列的公比，如果给第二题式乘2，就没办法像刚才那样很容易抵消了。教师：刚才我们几个题都乘的是2，有的同学可能会认为都是乘2，就乘以 2，但是，发现乘2 以后相互抵消不了，而乘3 以后刚好就抵消了。所以我们可以看出乘什么比较简单？学生：公比。教师：乘以公比是比较简单的。也就是说这种题它的思路是乘以公比，我们要注意两边乘以公比 q 是比较简单的，也是给我们解题的一个思路。二、等比数列前n 和公式的推导教师：现在我们已经做了三

10、个题，“麦粒问题”与这两个题，它们的思路都是一样的，都是错位相减法。现在，同学们想一下，特殊的例子我们会了，对于一个一般的等比数列我们能不能求出它的前n 项和呢？大家拿出练习本试着求一下一般的等比数列的前n 项和。哪位同学尝试着在黑板上做一下。设等比数列 a n ，首项为 a1，公比为q，如何求前n 项和 Sn？（一名学生展示自己的成果，教师巡视）教师：有没有需要改或者是完善的地方，大家可以上去用红色的粉笔补充完善。（有一名同学补充）教师：我们这位同学补充了一个条件q 1，原因是什么？学生：如果q 1，分母变成了零，这个式子就没有意义了。教师：我们这位同学在推得时候，两边除以1-q 时就有问题

11、了，如果1-q 等于 0，作为分母就没有意义了。只有在 q 1 的情况下才能作分母。这是第一位同学补充的 q1，还有没有需要补充的 ?这位同学来补充一下。（一位同学进行补充）教师： 大家看这位同学补充的对不对呀？我们第一位同学补充的是q 1，第二位同学补充了q 1，当第一位同学补充完以后，肯定会有些同学想，那 q 1 是又是怎么样的呢？那我们这位同学想到了，当 q 1 时，第一项变成 a1，第二项也变成 a1，这个数列每一项都变为a1 总共有 n 个 a1，所以就得到了na1, 这是我们的推导过程，在这个过程中要注意，等式两边同乘以公比q，然后两个式子相减，这种方法是错位相减法，相减后不要像刚

12、才出错哪位同学一样直接到这个结果，应该先加个条件q 1，也就是讨论一下q 1 与 q 1 两种情况。那现在我们把这个公式推导出来了，大家觉得难不难？我们先由特殊的例子再到一般的例子，这样就感觉不是很难了。公式推导出来了，大家想一下，在前面我们推导出等差数列前n 项和公式，它有几种形式。学生：两种。教师：两种形式，一个有末项，一个没有末项。那么我们来看这个公式，当q 1，在这个公式中有没有末项？那我们能不能用末项来表示一下前n 项和。我们来看一下等比数列前n 项和公式的其他形式。那么大家还记得等比数列的第n 项等于什么吗 ?n-1学生： a q .1教师：那我们就要想办法把它的分子向an 靠拢。

13、那我们把分子单独拿出来展开，出现了一个a1qn，但是没有我们要的 a1qn-1 ，下来怎么办呢？这位同学来说一下，下来我们该怎么办呢?学生 4：下面把 a1 qn 写成 a1qn 换成 a1qn-1 q.教师：我们刚才说an= a 1qn-1 , 那么我们就需要出现a1，还要出现 qn-1 ， a1有了，但是没有qn-1 ，那我们可以变一下，这位同学说的很好，通过变形我们推出了等比数列的前n 项和公式。有两种情况，q 1 与 q 1，在3q1 的情况下有两种形式，一种含有a1， q， n 三个量，第二种形式含有a1， an， q 三个量。我 做 要根据的条件 行合理的 。公式有了，大家想一下，

14、运用公式的 候要注意什么 呢？我 来把公式再写一下，大家想一下我 要注意什么 。我 个公式有几种情况？学生：两种。教 ：在我 做 要注意 q 是否 1，如果不确定要分 。公式有了，以后我 就可以直接 用了，下面我 看一下公式的 用。三、公式 用例 1求下列等比数列的前n 和（ 1） a1=1,q=3,n=10.（ 2） a1=6,q=2,a n=192.（ 3）求等比数列1112， . 的前 8 和。48教 ：例 1. 求下列数列的前 n 和，有三道 ，我 需要三位同学到黑板上做。（三位同学展示成果，一位同学 行了 充，教 巡 ）教 : 我 先来看第一位同学做的， 用的是公式的第一种形式， 于

15、310 利用 算器可以算出来，考 的 候可以不 算，化到最 形式就可以。第二位同学 的是公式的第二种形式，没有 。我 再来看第三位同学算的， 色是其他同学 充的，我 要求算的是S8，而 位同学算的是Sn, 那我 先来看一下Sn 算的 不 。学生：不 ，没有加括号。教 ：有些同学 二分之一的 n 次方要 括号，那外 的小括号 中括号。 ， 是个小 ，但我 是要注意的， 有没有。学生：下面的一 。教 ： Sn 算出来了，但我 要算的是S8，其 我 可以直接把8 代 去就可以了。 位同学只要再写一步就好了，那我 另外一位同学 充了一下， 得表 。 于 三道 我 同学根据 了不同的公式，前两个 分 了

16、第一种形式和第二种形式，第三位同学 了哪个公式？学生：第一个。教 ：能不能 第二种形式呢？学生：不能，能。教 ： 什么有的同学 不能呢？如果我 种形式就要要算出a ，就比 浪 ，所以我 8根据 的条件 合适的公式。 我 的学 也是有启迪的，我 大家要根据自己的情况 适合自己的学 方法， 才会取得更好的成 。接下来，我 看一下例2，大家先考 一下，也可以同桌之 ，前后左右相互 一下。例 2求和S=1+2+4+n +2 .( 一名学生展示成果，教 巡 )教 ：我 来看一下 位同学做的有没有 ， 位同学来 。学生 5：a =2 是 a=2 。nnn+1n教 ：其他同学 有 ？学生 6：从他 个 果来

17、看，当n 取 1 ，代入 果是 3，而 的第一 是 1，所以我 得那个 果是 的。教 ：大家 得呢？大家来看 目中的式子，当n 取 1 ， 是12 的几次1+2 ，n 的取 决定了加到方。 位同学明白了没有?其 位同学的 很好，有的同学可能 得n 是 1 就 是第一 ，但是要注意S 代表什么， n 代表什么？当当 n 取 1 ， 是前 2 。那大家 有没有 ？那我 看一下 个数列到底是什么数列呢？4学生：等比数列。教 ：等比数列的公比是 2，首 是 1，那既然是等比数列，就可以代公式来做，那 位同学的公式用的是那种形式的公式。学生：第二种。教 ：我 an 代表末 ，然后乘以公比，那 个公式用

18、着没有？学生： 。教 ：公式用 了，化 的 果也 ，那答案就 了。那有的同学和他的不一 ，我 来看一下。其他同学的答案， 位同学 在了哪？ 什么 两位同学算的不一 ？我 才 个 ，那 个呢？学生 7：两个都 。教 ：那两个都 ，答案不一 ，是不是有 ?学生 7：因 黑板上那个是Sn+1 的和，不是Sn.教 ：那我 位同学求的是Sn. 那她的 在那？ 什么 求Sn？学生 7：因 数 。教 ：她把n 搞 了。大家想一下， 个 从1+2+ +2n , 共是多少 ?学生： n+1 。教 ：我 看 位同学公式写的，公式代 了没有？学生：代 了。教 ：但是我 个地方 代表 数，而我 个 共有n+1 。那

19、个地方就 了，后面也就 了。所以我 个 做 的原因就是？学生：没有搞清楚我 个数列有多少 。教 ：下面我 看一下完整的 程，可以根据等比数列把式子写出来再算一下。通 个 ，大家 得 我 生活有什么启迪？我 要注意不要被一些表面 象所蒙蔽，要看清事物的本 。接下来，我 看一下例 3.例 3 求数列 a,a 2 ,a 3,a 4, ， an, 的前 n 和。（ a 是常数）教 ：大家先 一下。（一位学生展示成果，有几位同学作以 充）教 ： 在我 来看一下大家的成果，首先来看第一位同学做的，当a=1 ， Sn=n 不 ?我 来分析一下，当 a=1 ，每一 都 1， 共有 n ， 个 不同于例2，它有

20、 n ，所以 个 果没有 。再来看 a 1 他用了公式， ？我 考 一下，当a 1 ，它是什么数列?学生：等比数列，不一定。教 ： 什么不一定呢？学生：当a=0 ，它不是等比数列。教 ：我 看 位同学写的当a=0 ，无意 。学生：有意 。教 ：那我 一起来看，当a=0 ，每一 都 0， 个数列是一个常数列，那前n 和就是把n 个 0加起来。所以当a=0 ，有意 。我 再来看 个地方改的 不 ？学生：不 ，把 数数 了。教 ： ，又把 数数 了。我 才 个数列有n ，第一 是a1，不要像 才例2 一 再搞 了。所以 里改的就不 了。好，我 再来看一下 个地方加了一个，当a=0 ， 果是0， 个我

21、 才 了。再来看 加了一个a 1 且 a0， 同学写的 候没有加a 0，我 知道当a 1 的 候， 可能会等于 0，所以在用 个公式 ，必 把a 0 加上，当 a 1 且 a 0 ，才能用 个公式去算它的前n 和。我 再来看一下 位同学 充的，当a=-1 ，他分了偶数和奇数， 个 不 。大家想一下，当a=-1 ， 个数列是什么数列？学生： 数列。5教 ：那是不是等比数列。学生：是。教 ：那既然是，能不能用等比数列的前n 和呢 ?学生：可以。教 ： 所以 个 果就包括在 个里面， 个用不用写了，当然他 个考 着没有?下面我 把 个完整的 程看一下，从 道我 能 得到什么启迪呢？学生：要考 全面一

22、些。教 ： ，做 的 候，要注意，当 目含有字母 ，我 要分 ，做到不重复，不 漏。那么在生活中也一 ，我 做事要深思熟 。 是我 的内容。四、 堂小 教 ：下面把 小 一下， 我 主要学 了等比数列的前n 和公式，用的方法是什么呢?学生：“ 位相减法” 。教 ：“ 位相减法” ， 种方法在我 后面 会 常用，是一种很重要的方法，所以大家要熟 运用。那我 公式推 完了以后，要注意什么 呢？学生：要分 ，注意q 1 是 q 1。教 ： 的内容就 束了，但“麦粒 ” 没 束呢？后面 生了什么事情？“麦粒故事”的延 。国王 得太容易了，就同意了他的要求. 于是，命令管粮食的大臣按着 位大臣的 算方式

23、算好麦粒的数目 .管粮食的大臣 算后，走到国王面前悄声 ：“陛下，按照他的要求，全国的粮食加起来也不 啊！您看 1+2+22+23+24+25 18446744073709551615粒， 1 立方米的麦粒大 是1500 万 ，一共要 他12000 立方米的麦粒 .”国王一听傻了眼， 可怎么 ？“陛下，不必 ，我 可以打开粮 ， 他自己去数好了，即使每秒 数两粒，每天数12 个小 ，那么10 年才可以数20 万立方米，所以要数完他要的麦粒，共需要2900 年 .”管粮食的大臣 国王 ：“陛下，我想他并非真的要得到 么多的麦粒，他只是想 一 有 比他更 明吧 .”国王听了管粮大臣的分析，十分高 ,因 他有两位又 明又忠 的大臣.教 ：其 从 个 中我 可以 生活中有很多 趣，我 数学游 也是很奇妙的，只要大家努力 真的学 ，你也会 比 更深奥的 ，所以我希望大家可以放 梦想， 自我。好不好？学生：好！教 ：最后，我 来看一下今天的作 ，注意有两部分，必做 与 做 。6