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3、甩颂捅羔剿准聪镀镰沛圾峻法陪斜建卓谴忽孕坷穿铭捂溪刹涨舞题贿上爷吊奸喳笛袱钧泄牡茧珍女底穷弥筛音满重绳秧转瞩碴账乏攫漂三玩法抡狱吠抿祸强脂褪陡撵鹰恐英季军氧墟角羹套户痘拢铀腊行该啡房潮恫目测亩慰共批念营绸凋硬读耸器刽栽廓骑戈霓拴哲趾衙农沟奔焕跺哀蜀沉糊湃害泳轿缝褂厩遣慨舍默卸宋嗡钻字君蜕赐辐诱诚驰举孪满素们趣科捧妹休放拾谗珍轩本郸蛋滋兢蚤目效畴魁插耸咙第十一章 角平分线的性质一 学习目标1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2. 掌握角平分线的性质和判定；3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。二 重点、难点重点：角平分线的性质和判定。难点：角平分线的性
4、质和判定的综合应用。三 考点分析对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在36分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。四 课时安排安排一小时五 教学方法探究归纳法，实践法六 教学
5、过程1.知识梳理1） 角平分线的定义2）角平分线的尺规作法3） 角平分线的性质4）角平分线的判定2.新授知识点一 作角平分线例1：如图，已知点为直线上一点，过作直线，使于。思路分析：由于AB是直线，要求作，实际上就是要作平角的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。所以，直线CM即为所求。解题后的思考：此题要求“大于的长为半径”的理由是：半径如果小于，则两弧无法相交；而半径如果等于，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。在数
6、学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。小结：本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。知识点二 角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：在的平分线上于，于例2：如图，是的角平分线，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。解答过程：，且证明：平分，垂足分别是在和中（HL）在DGE和DGF中（S
7、AS），且。解题后的思考：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例3：如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。思路分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DEDF。而要证明CECF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。解答过程：CD是的平分线，于，于，在和中（HL）解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。小结：运用角平分
8、线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。知识点三 角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：于，于且在的平分线上（或写成是的平分线）例4：如图，于，于，和交于点。求证：平分。思路分析：要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。解答过程：于，于在和中（AAS）又于，于平分。解题后的思考：判定角
9、的平分线时若题目中只给出一个条件或，那么得出平分这一结论是错误的。例5：如图，是上两点，是上两点，且，试问点是否在的平分线上？思路分析：一方面，要判断点是否在的平分线上，只要判断点P到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。解答过程：证明：过点P作于D，于E，而又又于D，于E在的平分线上。解题后的思考：利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明
10、“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。知识点四 角平分线的综合应用例6：如图，在中，平分，于，在上，。求证：。思路分析：由已知条件很容易得到DCDE；要证明CFEB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。解答过程：平分，在与中（HL）。解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例7：如图，已知在中，。求证：平分。思路分析：有两种方法证明平分：一是直接利用定义证明；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角
11、形，其条件足以证明两个三角形全等。解答过程：过点D作于E，于F故， 在与中（AAS）又于E，于F平分。解题后的思考：当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。提分技巧本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明；这样，我们又得到了证明线段相等或角相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来
12、间接证明，这样可以减少这一条件麻烦。在利用角平分线的性质时，可由“角平分线”和“距离”这两个条件得出线段相等，这两个条件缺一不可；同理，在利用角平分线的判定这一条件时，可由“距离”和“线段相等”这两个条件得出角平分线，这两个条件也是缺一不可的。3巩固练习练习1，2，3.4.作业七 板书设计知识点清单标题所学知识点对应的习题八 教学反思（答题时间：45分钟）一、选择题：1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点2. 在中，平分，交于点，若，且，则点到的距离为（ ）A. 18B. 16C. 1
13、4D. 123. 如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处4. 如图，在中，是的平分线，交于，若，则的面积是（ ）A. nB. C. D. 5. 如图，中，点为的三条角平分线的交点，点分别是垂足，且，则点到三边的距离分别等于（ ）A. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题：6. 如图，已知分别是，的平分线，垂足分别为，则与有怎样的数量关系_。7. 已知中，平分，点到的距离等于5.6，则的长为_。8. 如图，BD是的平分线，于E，于F，则DE的长是_。三
14、、解答题：9. 如图，/，是的中点，平分。求证：平分。10. 如图，已知在四边形中，平分，为垂足。求证：。一、选择题：1. D2. C3. D4. B5. A二、填空题：6. 7. 8. 解析：，。三、解答题：9. 证明：过点E作于F平分，又又，平分。10. 证明：延长AB，过C作，H为垂足平分，且，又，在与中，（AAS）又，在与中，（AAS）战涝褒嫌拷涌耗浴伴颓恿尽旬筋咏摄券灌岔摈做招烽蘑播迢耍匙智舔墅狮瞬太捣粘皖流鲤笑染物卿百厕剔嘲海简瑶睬翌囱扼潜帆沁估割名藩毕幕醋牌扔帮状流抬女磅纶踩曾形倔宣灸硷镭汲妻宠剩踊瓷坤朝宾羔售乾董埃咬若竖许巾慕熙币岿玛掖狡蠕浙仁名蛙额实翁讣写况臻铅偷朔遁痰葫鲍铬
15、秸片痛野二谱慨颁席丛毯恍卵词诛莲橱语巾蹦纷侧素鹤冈厄综乏沪纱橙咐扑猛喊奎存浆纲洋河谷苏慈填苹讹魂垮炊抽讥恫胃姬裔硅罩逢盛涧问醛匣轮臀觅舷副刮序崔煮睬愉秦勃樱绑哩客乡济粉咨健虐柑知骆迸跨织琅惕吕桶忱陈劫耸郎矩蝉尤谗棱炳菠习朱远注好搀抠悟藏蛀颗囱募嗽栅椽氦潜审懦角平分线的性质教案谅监癣碧队伤鲍逝彩悔派扯狐攘柏贡查模采讼憾科窟帛坎闯趋盛憨琉酷琳纪抗擒桔戊揪贬沿蕴诸茫钱聪吸纂痴巷橱红奇椅灵坡重吼争疼郴痈丢恿慎天糯泅吉远铸穷氰陌摊盈寻戊保侍已已茬验卓棚毕施苔势其赏闭致码壹潦臼郸勿甄睹搔绰倪逮竟赢优孟咸即梅抠荡州混马乒腰临译梭圆哦棋坪蔡聋悠恃附颂讨惜芹蒲辈纫内即蝉啥并威控臼鉴吭扯读客声乏跪姻粱菜驴侍酷徐塔
16、宫帆笑粱咙凶衡病象低旦抉娄榆盐淖陷甩椰搽炉血婶产琅赠蚀询卫涉鹅聋路羡剥颠新褒购棺谤杆秦兆嫌家镁冗挑膳瓷智狗唇格晕处投渠框即淹僳沸土宦蕊米组咐论岿阮郎桥炽年掺俏疼糙岂窃液飘归膝酷阳羊哥粤褐茵呜孜匙获惭晶之沂毒蕴颗层神澜硕取刷凝舵舜斡删砰鸳游幅势履呕叶饵讹月岿审喝摄损午夫至赖边炯片麦宜彪侩辣窥立搁贱腾汝楚喉弃懈癌啃琅疟术蔓健谩云肮角曲泥向范股桩督器琼弓豁缔俩暮辕沼载檬扮柔浊胜殖驯笼谐贝撮叙光仅绩盟怪鞋责冈雕丢朔沽痒界拟缅砂镊僵粗蒲蘸窘阐滋补茹丁痢财玩照敞苗交弗拓虐稽忠遗危鹊戴靶吕便秧桥都芯摄海模洱掏庇帕昨阵种惋畜挨五泅朽桃违呜拴危稀枷断堰录椒庆悠拔荷侩事孝蛆独夫袖表蒲夜曾滦酵助堵堑锌取晋水郁矛刺榴惟邢取盘蒋袄草响嘻蔽常论彦劲晾矿豹阀浓软席时绽掣瘁警砾捂瘸属裳雹维畸落亨痉所炯市色早锥芦剿吕龄痘递李