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1、考研高数 - 洛必达法则及函数的连续性作者：日期：?洛必达法则及函数的连续性一、洛必达法则、 洛必达法则使用条件1、下列各题计算过程中正确无误的是（)(A ）数列极限 lim ln nlimln nlim 10nnnnnn(） limsinxlimcosxlim2 sin x22x 10x 1 3xx 1 6x 2x 16x2 sin12xsin1cos1(C） limxlimxx 不存在x 0sin xx 0cos x（ ) lim xsin xlim 1cos xx0 xsin xx0 1cos x用洛必达法则应注意的事项：（1）只有 0或型的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子
2、只0要是 0 或，则可一直用下去0（2）每用完一次法则，要将式子整理化简（3）为简化运算，经常将法则与等价无穷小结合使用（4） limf ( x) 不存在（非 型）lim f (x) 不存在x ag ( x)x a g( x)（5）当 x时，极限式中含有 sin x, cos x 不能用法则（6）当 x0 时，极限式中含有 sin1 , cos 1 不能用法则xx、求x3sin x、求 limx3 sin 1x2lim2cos x32x 3xx 0 (arctanx)、未定式的极限运算的原则 : 一步比一步简单a 0型04、 limx arcsin x(arcsin x)3x 0、 lim 1
3、 2 sin xx 1x 0xln(1x)6、 limeecos xx0 3 1x2 1b.型x 2t2tedt7、求 lim0x2xxe提示：若 x的极限中含有 ax (a0, a 1) ，或 arctanx ，arc cot x ，一定要分别求出 x与 x的极限，两者相等，则 x时的极限存在 ,否则不存在、求 limexx arctan xexxxc.型0 或 型 ,再用法则或“抓大头”方法处理,求解方法有三种0(1）通分(2）根式有理化(）变量替换9、求 lim ( 12cot 2 x)x 0 x0、求 lim (xxxx)x11、求 lim x x2 ln(11)xxd. 0 型0或
4、型，再用法则或“抓大头”方法处理01、 lim (arctan 2x2 ) x2x 23、 lim13 ( 2cos x ) x1x 0x314、 lim 12ln sin xx 0 xx0，0，型用对数恒等式0 型0或型e.010215、 lim x1 ln xx016、 lim (cot x)sin xx017、 lim ( 2 arctan x) xx11、 lim ( arcsin x ) x 2x 0x119、 lim (sin 1) n 2 (提示 : 数列的极限转化为函数的极限求解）n n二、间断点的判定（关键是会求极限）先判断第二类：左右极限f ( x00) ，f (x00)
5、至少有一个不存在再判断第一类：f (x00)f ( x00)可去间断点f (x00)f ( x00)跳跃间断点0、求下列函数的间断点并判别类型1() f (x)2 x112 x1（2） f ( x) lim1x2 n1x2 n xnx(2x)0x（3)f ( x)2cos x1sin02xx1三、极限式中常数的确定常用方法： (1）抓大头 ;（2)洛必达法则2、设 lim(x 1)95 (ax1)5】2508 ，则 a 的值为【n( x1)(A)1()2(C) 5 8(D）以上均不对2、设 lim (x1)( x 2)( x3)( x4)( x 5)0 ，则 ,的数值为【】x(3x2)(A)1(B）5,1（ C）5,1(D）以上均不对1,3353、设 f ( x)1 1 sin x sin2 x (sin x) ,且 x0 是 f ( x) 的可去间断点 ,求 ,sin 2x1、确定正数 a 和 b ,使得 limx0 bxsin xxt2dt 20 at 2