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1、4. 2简单线性规划课后篇 巩固探究A 组1. (2017 北京高考 ) 若 x, y 满足则 x+2y 的最大值为 ()A.1B.3C.5D.9解析 : 由题意画出可行域( 如图 ) .设 z=x+2y, 则 z=x+2y 表示斜率为 - 的一组平行线 , 当过点 C(3,3)时 , 目标函数取得最大值zmax=3+23=9. 故选 D.答案 : D2. (2017 山东高考 ) 已知 x, y 满足约束条件则 z=x+2y 的最大值是 ()A. - 3B. - 1C.1D.3解析 : 可行域为如图所示阴影部分( 包括边界 ) .把 z=x+2y 变形为 y=- x+ z, 作直线 l 0:
2、 y=- x 并向上平移 , 当直线过点A 时 , z 取最大值 , 易求点 A的坐标为 ( - 1,2),所以 zmax=- 1+22=3.答案 : D3. 已知在平面直角坐标系xOy内的区域 D由不等式组给定 . 若 M( x, y) 为 D上的动点 ,点 A的坐标为 ( ,1),则 z=的最大值为 ()A.4B.3C.4D.3解析 : 画出可行域 , 而 z=x+y, 所以 y=-x+z. 令 l 0: y=-x, 将 l 0 平移到过点(,2) 时 , 截距 z 有最大值 , 故 zmax=+2=4.答案 : C4. 已知 x, y 满足则点 P( x, y) 到直线 x+y=- 2
3、的距离的最小值为()A.B.2C.D.解析 : 不等式组所表示的可行域如图阴影部分.其中点 P(1,1) 到直线的距离最短, 其最小值为=2. 故选 B.答案 : B5. 若点 ( x, y) 位于曲线y=|x- 1| 与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为.解析 : 由y=|x-1|=及 2画出可行域如图阴影部分.y=令 2x-y=z , 则 y=2x-z , 画 直 线 l 0: y=2x 并 平 移 到 过 点 A( - 1,2) 时 , -z 最 大 , 即zmin=2 ( - 1) - 2=- 4.答案 : - 46. 若变量 x, y 满足约束条件则 z=x+2y
4、 的最小值为.解析 : 根据得可行域如图 , 根据 z=x+2y 得 y=-, 平移直线y=- , 在点 M处 z取得最小值 .由得此时 zmin=4+2( - 5) =-6.答案 : - 67. 若实数 x, y 满足则 z=3x+2y 的最小值为.解析 : 不等式组所表示的可行域如图阴影部分.令 t=x+ 2y, 则当直线 y=- x+ t 经过原点 O(0,0)时,t 取最小值 , 即 t 的最小值为 0, 则 z=3x+2y的最小值为30=1.答案 : 18.导学号 33194070 若实数 x, y 满足不等式组则( x+2) 2+( y+1) 2 的最小值为.解析 : 画出不等式组
5、表示的平面区域, 如图阴影部分.表示可行域内的点D( x, y) 与定点 M( - 2, - 1) 间的距离 . 显然当点 D在点(1,2) 时 ,|DM|最小 , 这时3, 故 ( 2)2 ( 1)2 的最小值是 18A|DM|=x+ y+.答案 : 189 已知,y满足约束条件求 58y的最大值.xz= x-解作出不等式组表示的可行域, 如图阴影部分.作直线 l 0:5 x- 8y=0, 平移直线 l 0, 由图可知 , 当直线平移到经过A 点时 , z 取最大值 . 解方程组得 A(6,0),所以 zmax=56- 80=30.10.导学号 33194071 已知 - 4 a-b - 1
6、, - 14a-b 5, 求 9a-b 的取值范围 .解如图所示 , 令 a=x, b=y, z=9a-b , 即已知 - 4 x-y - 1, - 14x-y 5, 求 z=9x-y 的取值范围 , 画出不等式表示的可行域如图阴影部分 .由 z=9x-y , 得 y=9x-z , 当直线过点A 时 , z 取最大值 , 当直线过点B时 , z 取最小值 .由得 A(3,7),由得 B(0,1),所以 zmax=93- 7=20, zmin=- 1,所以 9a-b 的取值范围是 - 1,20 .B 组1. 在约束条件下 , 目标函数z=x+ y 的最大值为 ()A.B.C.D.解析 : 由 z
7、=x+ y, 得 y=- 2x+2z.作出可行域如图阴影部分, 平移直线y=- 2x+2z, 当直线经过点C时 , 直线 y=- 2x+2z 在 y 轴上的截距最大, 此时 z 最大 .由解得点 C坐标为, 代入 z=x+ y, 得 z=.答案 : C2 已知,y满足约束条件则 ( 3)22的最小值为 ().xx+yA.B.2C.8D.10解析 : 画出可行域 ( 如图 ) .( x+3) 2+y2 表示点 A( - 3,0) 与可行域内点 ( x, y) 间距离的平方. 显然 |AC| 长度最小 ,所以 |AC| 2=(0 +3) 2+(1 - 0) 2=10.答案 : D3. 若关于 x,
8、 y 的不等式组表示的平面区域内存在点P( x0, y0), 满足 x0- 2y0=2. 则 m的取值范围是()A.B.C.D.解析 : 由线性约束条件可画出如图所示的可行域, 要使可行域内存在点P( x0, y0), 使 x0- 2y0=2 成立 , 只需点 A( -m, m) 在直线 x- 2y- 2=0 的下方即可 , 即 -m-2m-20, 解得 mkBD, 因为 kBD=1, 所以 a1, 即 a 的取值范围是 (1, +) .答案 : D6.导学号33194073 设实数x, y 满足则 z=的取值范围是.解析 : 令 k= , 则 y=kx. 因为 x0, 所以 k 存在 , 直
9、线 y=kx 恒过原点 , 而在可行域中 ,当直线过边界点(1,2)时 , 斜率有最大值, k=2; 当直线过边界点(3,1)时 , 斜率有最小值, k= , 所以斜率 k 的取值范围是, 又 z=k+ , 利用函数单调性的定义可知k时 , z=k+ 为减函数 ; k 1,2时 , z=k+ 为增函数 , 可得 z 的取值范围为.答案 :7. 若 x, y 满足约束条件(1) 求目标函数 z= x-y+ 的最值 ;(2) 求点 P( x, y) 到直线 y=-x- 2 的距离的最大值 .解 (1)根 据 约 束 条 件 , 作 出 可 行 域 如 图 , 则 直 线1,1,2x-y=2 的 交
10、 点 分 别 为x+y= -x+y=A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移直线x-y+ =0, 由图像可知过点A 时 , z 取得最小值 , zmin= 3- 4+ =- 2,过点C时 ,z取得最大值 ,zmax1= .故 z 的最大值为1, 最小值为 - 2.(2) 由图像可知 , 所求的最大值即是点A 到直线 x+y+2=0 的距离 , 则 d=.8导学号 33194074 在直角坐标系xOy中 ,O为坐标原点 , 点的横、纵坐标分别.M为茎叶图中的中位数和众数, 若点 N( x, y) 的坐标满足的最大值 .解由茎叶图可得中位数为23, 众数为23,所以点 M为 (23,23),所以=23x+23y. 设 z=23x+23y,作出不等式组对应的平面区域如图 .作一平行于 z=23x+23y 的直线 , 当直线和圆相切时, z=23x+23y 取得最大值 .由圆心到直线的距离d=2,=解得 |z|= 46.所以 z=46或 z=-46( 舍去 ),故的最大值是46.