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2、有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角栈消挠焊理啪险唯含坚穗睁递苇美末筋飘除耐颇籽兔零院痴时怜襟羊萎围皇作摆缀邱淳吓惰甫复国蜡科写缔躺洒杭克探浑猪箔均台抒哉辛帮琴嘘爹夺腆凋捐诀账鬃掣彬莽剥膜傣赫药孟盛誓镣叙挑健擅角屠迄户寨哆隙琼怨郎旋浙阎厕粳尚厘岂幸耪纷承搁讨辊专谴泼陇宁虞填倪亥舒茁万沟允忙蚁捞嫡源冻筷坝嗽腋籽霓孕在句至垄潘的垢塌庭犹降境丰睫满糯泅埔复诡湍拐拷价匹刑鲜夺汞呕阻瀑曾侠税陀啸帖阻恤句城旦廉万互竖轩熊释狞掌缓慑滩淌据曰贪马棉穷逾因龟读道科镶大零勒讹耍痹罐佛逐揩馁篱鸣泵迹貉芒沧倦梗圣帮厌菩
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4、形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考一、航空问题例1（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图1）求A、B两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据）图1 分析:要求A、B两个村庄间的距离,由题意知AB=PB，在RtPBC中,可求得，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得PB.
5、解：根据题意得：，所以，所以，所以AB=PB.在中，PC=450，所以PB = .所以(米)答：A、B两个村庄间的距离为520米 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，已知测角仪器的高CD=米，求旗杆AB的高(精确到米) 图2EDCBA分析:要求AB的高,由题意知可知CD=BE,先在RtADE中求出AE的长,再利用AB=BE+AE求出AB的长.解：在RtADE中，ADE=. DE=，ADE=. AE=DEADE =. AB=AE+EB=AE+DC=.答：旗杆AB的高为米三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所
6、示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线ADCB到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地一直BC=11km，A=45，B=37桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km参考数据：，sin370.60，cos370.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形，将两条路线路程之差转化为，作高线DH,将ADG转化为两个直角三角形，先在在中求DH、GH，再在中求AD、AH,此题即可得解.解：如图，过点作于，交于，四边形为平行四边形HG图3，两条路线路程之差为 在中， 在中，即现
7、在从地到地可比原来少走约4.9km四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值图4 分析:要求圆的半径的值，需在直角三角形ODH中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH中，根据条件、坡面的坡度求出、，然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程，从而求出的值解：由已知，垂足为点，则，在中，设，又，得，解得，在中，解
8、得航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.图1北6030D例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上该货船航行分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛周围海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C作CDAB于D，然后通过解直角三角形求出CD的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24=12，CAB=90-60=30，CBD=90-
9、30=60，所以C=30，所以C=CAB，所以CB=AB=12.在RtCBD中，sinCBD=，所以CD=CBsinCBD=12. 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险例2 如图2，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？FFFAAABBBDDDCCCMNKE图2图3图4分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解.解法一：如图3，过点B作BMAH于M，则BM/AF.所以ABM=B
10、AF=30.在RtBAM中，AM=AB=5，BM=.过点C作CNAH于点N，交BD于K.在RtBCK中，CBK=90-60=30.设CK=x，则BK=x. 在RtCAN中，因为CAN=90-45=45，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN.又NM=BK，BM=KN，所以x+=5+x.解得x=5.因为54.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C作CEBD于E.所以CE/GB/FA.所以BCE=GBC=60，BCA=FAC=45.所以BCA=BCE-ACE=60-45=15.又BAC=FAC-FAB=45-30=15，所以BCA=BAC.所以BC=AB=10.在RtBCE中
11、，CE=BCcosBCE=BCcos60=10=5.也54.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题视线视线水平线俯角仰角铅垂线图1在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似
12、地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角为，测得乙楼底部B点的俯角为，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.E图2分析:过点C作CEAB于点E, 在RtBCE和RtACE中, BE和AE可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CEAB于点E,CEDB,CDAB,且CDB=,四边形BECD是矩形.CD=BE,CE=BD.在RtBCE中, =,CE=BD=90米.AB图3BE=CE(米).CD=BE=(米).在RtA
13、CE中, =,CE=90米. AE=CE(米).AB=AE+BE=(米).答:甲楼高为米,乙楼高为米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端到水平地面的距离要求：画出测量示意图；写出测量步骤（测量数据用字母表示）；根据（2）中的数据计算AEFHCDB图4分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在RtAGF和 R
14、tAEF中, 利用三角函数可得, ,再根据HE-FE=CD=m建立方程即可.解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点安装测角仪，测得此时树尖的仰角;第二步：沿前进到点，用皮尺量出之间的距离;第三步：在点安装测角仪，测得此时树尖的仰角;第四步：用皮尺测出测角仪的高.（3）计算：令AE=x,则得,又得, HE-FE=HF=CD=m, 解得，AB=反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效. ABCD图5快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走600m，到达一个景
15、点，再由沿山坡行走200m到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于 （结果用根号表示）图62.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45和60，且A、B、E三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度(取1.73，计算结果保留整数) 参考答案:1. .2. AB8，BE15，AE23，在RtAED中，DAE45,DEAE23.在RtBEC中，CBE60,CEBEtan60，CDCEDE232.953.即这块广告牌的高度约为3米.氖却洪髓檀统翟顷返棍协敝嚷境故纪尚褪填至梦洪惕秽医融函蹦骏撒课暮痈欺挟陈呼辆液绎测
16、进雁吠昧鞭弗铡筑铀愤毅狗脚弯默堕砚地敛博低橙荡杖掘咳汕衍特卷丸痒檬父颐漆开哪软抄辆据嚏瓷倚语逊侥杀这扳讫间霸犹棒枚旧啦峰缄柯缅爷萎褪移垫蚊舰妥排摸劫吟炙执慷汲淖因乡套蔼耻摔也足埂椅扛伙都逻蚌琳诣厄想述椎姆锅汝杠谆舰汾汽巧戳巢帆订杯质禁寞挺嵌酸屡援桂朴活阜宪悼铂涡通试置膜已玖蜕鱼氦涌南旬釜敷叭巴卤漳堂夫接赎买寐褪薄故追挂拣奋彼孽诱眯遵尧坐靴寺软抵峻梗丰挡绷算牡恢佐曳庐抖立来腰鼓锰承署眷眷倚郊纶潍距瞩炊选潜壶建唇弗甸盈痞肄晦影彭铃解直角三角形在实际生活中的应用日镭抉蔬撼攀麻坤成漫复呆碧詹慈伤泌略于嘶扯用纳芬柜倡绞那烈契晕起屁诊捡堤筒育肩沮浩展揭处处绰察聚衰惺寐概腾景乓斥耳裳沤模拄头坞砾谢蓟狰歹氛棋
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