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1、1,灰色系统理论讲义,理学院 陈超 2012 年7月,2,内容安排,1 灰色系统理论概述. 2 灰色关联分析. 3 优势分析. 4 灰色系统建模.,3,1.1 灰色系统理论的产生和发展,1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究迅速发展。,1 灰色系统理论概述,1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。,目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。,灰色系统理论应用范围已拓
2、展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。,4,1.2 灰色系统的概念,我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。,灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论，以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息不确定性系统为研究对象，通过对部分已知信息的生成、开发，提取出有价值的信息，从而实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。,5,1.3 灰色系统与模糊数学、数理统计方法的区别,6,1.4 灰色系统理论的优点,（
3、1）数据的挖掘功能 （2）利用生成数使规律更明显,应用灰色系统理论可以进行灰色预测、灰色决策、灰色控制和灰色规划。,7,2 灰色关联分析法,关联分析是系统分析的一个重要方面，实际系统中的现象往往很复杂，涉及的因素很多，其中哪些是主要的、哪些事次要的，哪些需要利用和发展，哪些需要抑制和避免以及各因素间的关联性如何都可以用关联分析加以明确，如人口问题。,灰色系统理论提出关联分析方法进行系统分析，克服了以往回归分析等方法中的一些欠缺，能够对系统动态发展趋势进行系统分析。,例1： 某饲养专业户主要饲养家猪和家兔。19771983总收入与养猪、养兔收入的历史数据如下表：,试分析饲养专业户的总收入与养猪收
4、入和养兔收入的关系。,8,为了便于比较，将三种收入数据做成折线图（成为序列曲线）,观察图像有何特点？总收入曲线与养猪收入曲线的增长趋势比较接近，而与养兔收入曲线的增长趋势相差较远，因此判断对于该饲养专业户总收入影响较大的是养猪收入那一部分，而不是养兔收入。,但这种直观分析对简单问题还可以解决，但对复杂一些的问题就难于进行，还需做精确的定量描述.,一般的，如果序列曲线几何形态越接近，变化斜率越接近，则发展趋势越接近，从而关联程度就越大。,9,10,11,12,13,常用的无量纲化方法有：,（1）均值化法,（2）初值化法,变换,（3）,（4）采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同 例如，某
5、地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值如80%转化为多少？可进行如下计算： 解之得，即80%转化为7,14,可以看出与铅球专项成绩关联度较大的前八项主要因素依次为：全蹲、3kg滑步、高翻、4kg原地、挺举、立定跳远、30m起跑和100m成绩，其中关联度最大的两项是全蹲和3kg滑步，分别达到了0.933和0.895.,把基准数列与全蹲、3kg滑步的初始化数列画成序列曲线如下：,15,可以看出，这三个数列的发展趋势十分接近，了解了这些，可以在训练中减少盲目性，提高训练效果，尽快提高铅球专项的成绩.,由关联系数公式计算
6、出的关联系数均是正数，即不能区分开正关联和负关联，这在实际应用中有时会产生麻烦.一般的，先对因素关联进行判断：是正关联还负关联，然后进行关联分析.,令,16,其中m为指标的个数，,利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是： 1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。 设n个数据序列形成如下矩阵：,2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作,3对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：,17,18,19,灰色关联分析的应用举例,利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价 1评价指标
7、包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤,20,2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表,21,3确定参考数据列： 4计算 ， 见下表,22,5求最值 6依据关联系数计算公式， 取计算，得,23,同理得出其它各值，见下表,24,7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）： 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号 即,25,26,3 优势分析,当基准因素不止一个时,优势分析可以从多个基准因素中找出起主要作用的基准因素.,设要研究的m个因素（也叫母因素）的基准数列为 ，待比较的n个数列（也叫子因素数列
8、）为 ，那么，每个基准数列对应于n个比较数列都有n个关联度。 为了判断出那些因素起主要作用，可以构造关联矩阵R。,设比较数列 对基准数列 的关联度为 ，则关联矩阵为,然后根据R中的元素大小就可以判断哪些因素起着主要足作用，称起主要作用的因素为优势因素。,特别地，当某一列元素大于其他列元素时，称此列对应的子因素为优势子因素,当某一行元素大于其他行元素时，称此行对应的母因素为优势母因素,另外，容易找出R中最大的元素，则可以认为该元素所在行对应的母因素 是所有母因素中影响最大的。,27,由于第一列元素都非零;可以称第一子个子因素为潜在的优势子因素, 进一步,若此列元素均大于其他列元素,则第一个子列因
9、素就是优势子列.第二列有一个元素为零,所以称第二个子列因素为次潜在子列,其他各列可做同样的讨论.,潜在的优势子因素,28,29,例2： 表1是19791983年间某地区对于工业、农业、交通等投资的数据。为了研究这些投资对经济的影响，收集到19791983年间该地区的各项收入数据，如表2，试对此问题进行优势分析.,子因素,母因素,30,2)根据关联度矩阵对问题分析如下：, r15 =0.92是第一行中最大的，表明交通方面的投资对国民收入影响最大，这很好的验证了一句话：要想富，先修路., 第四行元素几乎是各行元素中最小的,表明各种项目的资金投入对增加商业收入影响不大.也说明商业是一个不太需要依赖外
10、部投资而能自行发展的行业,从消耗投资的角度看商业是劣势行业,但从少投资多收入的角度看看商业又是优势行业.,31, r55 =0.875是除r15 =0.92以外的最大元素，表明交通收入主要靠交通方面的投资., r24 =0.809是该列最大元素,表明科技投资对工业收入影响最大,这当然符合科技进步带动工业发展的道理.r34 =0.588是该列中元素最小的，表明科技投资对农业经济发展作用不大.,32, 第三行中元素普遍较大,表明农业是一个综合性行业,必须得到其他行业的配合才能够更好的发展.其中,该行第二个元素为0.828,说明工业发展能够很大程度推动农业发展.该行第五个元素为0.735,也说明交通
11、的发展对农业发展也有较大的促进作用.,综上所述,仅仅通过计算一个关联度矩阵,就可以推出很多有价值的结论,这充分体现了灰色系统理论的优势和分析工具的应用价值.,33,34,35,36,37,对于这种情况，可以先把原始数据化为非负数列，具体做法是把每个元素都减去原数列中最小的，得到的非负数列再做累加处理，如左图，显然规律性增强。,38,对于这些数据，应用最小二乘进行线性拟合可以得到拟合直线y=1.4k+4,如右图，,从图中可以看出除两点外，都在直线附近，但上述线性拟合的平均误差达到26%,39,40,41,4.2 GM 模型,42,43,44,例3 设有原始数据序列X0=(x0(1), x0(2)
12、, x0(3), x0(4), x0(5) =(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)试用GM(1,1)模型对X0进行模拟,第一步：对X0作 一次累加，得 X1=(X1(1), X1(2), X1(3), X1(4), X1(5) =(2.874,6.152, 9.489, 12.897, 16.558) 第二步：对X1作紧邻均值生成。令 得Z1=(Z1(2), Z1(3), Z1(4), Z1(5) =(4.513, 7.820, 11.184, 14.718) 可得B,Y,45,第3步：对参数列 ，得 第4步：确定模型为 时间响应式为 第5步：求X1的模拟值,46,第
13、6步：还原出 的模拟值，由 得 对比原数据,X0=(x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) =(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679),47,48,49,50,51,52,定义4.1 设原始数据序列 相应的预测模型模拟序列: 残差序列: 相对误差序列:,4.2.2 灰色系统模型预测精度检验,53,54,55,1. 称为均方差比值，对于给定的 ,当 时，称模型为均方差比合格模型。 2. 称 为小误差概率，对于给定的 ，当 ，称模型为小误差概率合格模型。,56,57,得GM（1，1）模型白化方程 其时间响应式为 得模拟序列,58,残差序列 相对误差序列 平均相对误差 模拟误差 ，精度为一级。,59,计算 的灰色绝对关联度 ： 从而,所以关联度为一级,60,计算均方差比,61,所以 ,均方差比值为一级。 计算小误差概率： 所以 ,小误差概率为一级，故可用,62,故可用 进行预测。这里给出5个预测值,