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1、高二数学选修 2-1 第三章第 1 节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、 减法、 数乘向量及它们的运算律； 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题2. 理解共线向量的定理及其推论3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 掌握两个向量数量积的主要用途， 会用它解决立体几何中的一些简单问题4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共
2、线或垂直二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、 平面的向量参数方程及线段中点的向量公式， 点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算数量积的运用，是我们学习的重点一、空间向量的概念：模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1的向量
3、称为单位向量与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a 方向相同且模相等的向量称为相等向量二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则3.实数与空间向量a 的乘积a 是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，a与 a 方向相同； 当0 时，a 与 a 方向相反； 当0 时，a 为零向量， 记为 0 a 的长度是 a 的长度的倍三、共线向量与共面向量11.向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ， b b0 ， a / b 的充要条件是存在实数，使 ab 2. 向量
4、共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量四、向量的数量积1.已知两个非零向量a 和 b ，在空间任取一点，作a ，b ，则称为向量 a ， b 的夹角，记作a, b 两个向量夹角的取值范围是：a, b0,2.对于两个非零向量a和 b ，若a b，则向量a，b互相垂直，记作ab,23.已知两个非零向量a 和 b ，则 ab cos a,b称为 a ， b 的数量积，记作 a b 即a ba b cos a,b零向量与任何向量的数量积为0 五、空间向量的坐标表示和运算设 ax1, y1, z1 ， bx2 , y2 , z2，则1.abx1x2 , y1y2 , z1z2 2.abx1x2 , y
5、1y2 , z1z23. ax1, y1 , z1 4.a b x1 x2y1 y2z1z2 5.若 a 、 b 为非零向量，则 a ba b0x1 x2y1 y2z1 z20 6.若 b0 ，则 a / babx1x2 , y1y2 , z1z2 7.aa ax12y12z12 8.cos a, ba bx1x2y1 y2z1z2x12y12z12x22y22a bz229.x1, y1 , z1 ，x2 , y2 , z2 ，则 dx22y222x1y1z2 z1知识点一空间向量的概念的运用例 1、与向量 a(1, 3,2) 平行的一个向量的坐标是（）2A（ 1， 1， 1）B（ 1， 3
6、，2）3C（ 1 ， 3， 1）D（ 2 ， 3， 22 ）22思路分析 ：1）题意分析： 本题主要考查共线向量的概念的运用2）解题思路： 利用共线向量的概念，如果b 0, a / ba b ，那么说向量 a, b 共线也可观察坐标的系数是不是成比例解答过程：解析： 向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即b 0, a / b ab ，因为 a (1, 3,2) 2（1， 3， 1），故答案为 C22解题后的思考： 对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例， 要么利用向量的线性关系来判定例 2、在平行六面体ABCD A1B1C1D1 中， M为 AC与 BD的交点
7、，若A1 B1 a ， A1 D1 b ，A1 A c ，则下列向量中与B1 M 相等的向量是（）A1 a1 b cB 1 a1 b c2222C 1 a1 b cD1 a1 b c2222思路分析：1）题意分析： 本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力2）解题思路： 把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化解答过程：解析： B1 M B1 B BM A1 A1 ( BABC ) c 1 （ ab ）1a 2221b c 故选 A2解题后的思考： 对于空间向量的线性表示， 我们本着把所求的向量与已
8、知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到例 3、在下列条件中，使M与 A、 B、C 一定共面的是（）A OM2OAOBOCB OM1 OA 1 OB 1 OC5323C MA MBMC0D OMOA OB OC0思路分析：1）题意分析： 本题主要考查共面向量的概念的运用2）解题思路： 空间的四点P、 A、 B、 C 共面只需满足OPxOAyOBzOC, 且x y z 1 即可，或者 AP x ABy AC 解答过程： 由于空间的四点P、 A、 B、 C 共面只需满足 OPxOAyOBzOC, 且x y z 1 即可，首先判定 A， B， D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C
9、利用向量的加法和减法我们可以把MAMBMC(OA OM )(OBOM )(OC OM ) (OAOBOC)3OM0，OM1 (OA OBOC ) ，显然满足题意3解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可 OP xOA yOBzOC, 且 xyz1或 APx AB y AC, 都可判定 P，A，B，C共面例 4、如果向量 a, b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线； O, A, B,C 为空间四点， 且向量 OA,OB,OC不构成空间的一个基底， 那么点 O, A, B,C一定共面；已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则
10、向量ab, ab,c 也是空间的一个基底其中正确的命题是（）ABCD思路分析：1）题意分析： 本题考查空间向量的基底2）解题思路： 结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定解答过程： 命题中，由于 a, b 与任何向量都共面，说明 a,b 是共线向量因此是错误的命题中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此是正确的命题中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，是共面的，b与ab共面 ，因此是正确的选Ca ba解题后的思考： 理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的知识点二空间向量的坐标运算的运用例 5、在ABC中，已
11、知AB(2,4,0) ， BC( 1,3,0) ，则 ABC思路分析：1）题意分析： 本题考查用向量数量积求夹角2）解题思路： 首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错解答过程：BA(2, 4,0), BC( 1,3,0),4BA BC2122cos BA, BC2 5102| BA | BC | ABC 145解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用例 6、已知空间三点A（ 0，2， 3）， B（ 2， 1， 6）， C（ 1， 1， 5）求以向量AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量 a 分别与向量 A
12、B, AC 垂直，且 | a | 3 ，求向量 a 的坐标思路分析：1）题意分析： 本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角2）解题思路： 首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2 倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解解答过程： AB( 2,1,3), AC(1, 3,2),cosBACAB AC1| AB | AC |2 BAC 60，S| AB | AC | sin 6073 设 a （ x， y，z），则 aAB2xy3z0,a ACx 3y 2
13、z 0,| a | 3x 2y 2z23解得 x y z1 或 x y z 1， a （ 1， 1， 1）或 a （ 1， 1， 1）解题后的思考： 向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活， 只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可例 7、如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1 中， CA CB 1， BCA 90，棱 AA1 2， M、 N分别是1 1、1 的中点A BA A（ 1）求 BN 的长；（ 2）求 cos BA1, CB1 的值；（ 3）求证： A1 B C1M思路分析：1）题意分析： 本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识考查空间两
14、向量垂直的充要条件2）解题思路： 先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解解答过程： 如图，建立空间直角坐标系O xyz 5（ 1）解：依题意得B（ 0， 1， 0）、 N（ 1， 0，1） | BN | (10) 2(0 1) 2(1 0)23 （ 2）解：依题意得A （ 1，0， 2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0， 0）、B （ 0， 1，2）11 BA1 1 ， 1，2 ， CB1 0 ，1，2 ， BA1 CB1 3，| BA1 | 6 ，| CB1 |5 cosBA1 CB1130 | BA1 | | CB1 | 10（ 3）证明：依题意，得C1（0
15、， 0，2）、M（ 1 , 1 ，2）， A1 B 1，1， 2 ， C1M221 , 1 ，0 A1B C1 M 11 0 0， A1 B C1M 2222解题后的思考： 对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行例 8、已知正方体 ABCDA B C D 的棱长为 a，M为 BD 的中点，点N 在 A C 上，且 | A N | 3| NC |，试求 MN的长思路分析：1）题意分析： 本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题2）解题思路： 对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解解答过程
16、：以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为正方体棱长为 a，所以 B（ a，a，0）， A （ a， 0，a）， C （ 0， a， a）， D （ 0， 0， a）由于 M为 BD 的中点， 取 AC 的中点 O ，所以 M（ a ， a ， a ），O（ a ， a ，a）因22222为 | A N |3| NC |，所以 N为 AC 的四等分点，从而N为 O C 的中点，故 N（ a ， 3 a ，446a）根据空间两点间的距离公式，可得| MN | (a a )2( a3a )2( aa) 26 a 242424解题后的思考： 本题是求解空间几何体中距离的问题， 我们一般利用
17、坐标的运算进行求解解题关键是能把坐标准确地表示出来小结： 通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底， 以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题 注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、 减运算和数乘运算及数量积的运算和应用 数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算， 那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究
18、任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题【反思】（ 1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角（ 2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题【反思】（ 1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（ 2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间： 50 分钟）一、选择题1下列命题正确的是（）A若 a 与 b 共线， b 与 c共线，则 a 与 c 共线B向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若 a / b ，则存在唯一的实数使得 ab2 已知 A（ 1， 2， 6），
19、 B（ 1， 2， 6）， O 为坐标原点，则向量OA与 OB 的夹角是（）7A 0B2CD 323 已知空间四边形ABCO中， OAa，OBb，OCc ，点 M在 OA上，且 OM2MA， N为 BC中点，则 MN （）A 1 a2 b1 cB2 a1 b1 c232322C 1 a1 b1 cD 2 a2 b1 c2223324 设 A、B、C、D 是空间不共面的四点， 且满足 AB AC0，ACAD 0，ABAD 0 ，则 BCD是（）A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定5 空间四边形OABC中， OB OC，AOB AOC 60，则 cosOA，BC （）A 1B2C 1D 0
20、2226 已知 A（ 1， 1，1）、 B（2， 2， 2）、 C（ 3，2， 4），则 ABC的面积为（）A 3B 2 3C 6D627 已知 a(1t ,1 t, t), b(2, t,t ) ，则 | ab |的最小值为（）A5B55C 3 5D 115555二、填空题8若 a( 2,3,1)，b( 2,1,3) ，则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为9已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、 N分别是对边 OA、BC的中点，点 G在线 段 MN 上 ， 且 MG2GN ， 现 用 基 组 OA,OB,OC 表 示 向 量 OG ， 有 OG x OA yOBzOC ，则
21、x、 y、 z 的值分别为10已知点 A（ 1， 2， 11）、 B（ 4， 2， 3）， C（ 6， 1， 4），则 ABC的形状是11已知向量 a(2, 3,0) ， b(k,0,3) ，若 a, b 成 120的角，则 k三、解答题12如图， 在空间直角坐标系中BC 2，原点 O是 BC的中点， 点 A 的坐标是 （3 , 1，0），22点 D在平面 yOz上，且 BDC 90， DCB 30（ 1）求向量 OD 的坐标；（ 2）设向量 AD 和 BC 的夹角为 ，求 cos 的值813四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB （ 2， 1， 4）， AD （ 4， 2
22、， 0）， AP （ 1， 2， 1）（ 1）求证： PA底面 ABCD；（ 2）求四棱锥 P ABCD的体积；（ 3）对于向量 a （ x1，y1， z1）， b （ x2， y2，z2）， c （ x3， y3， z3），定义一种运算：（ a b ） c x1y2z3 x2y3z1 x3y1z2 x1y3z2 x2y1z3 x3y2z1 ， 试 计 算 （ AB AD ） AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（ AB AD ） AP 的绝对值的几何意义14若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直1C；解析：由于选项A 中当
23、b 0 时，就不符合题意，因此A 错误选项 B，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行选项D，应说明 b0 2 C；解析： cosab，计算结果为 1| a | b |3 B；解析：显然 MNONOM1 (OB OC)2 OA 234B；解析：过点 A 的棱两两垂直， 通过设棱长、 应用余弦定理可得BCD为锐角三角形5 D；解析：先建立一组基向量OA, OB,OC ，再处理 OA BC 的值6D；解析：应用向量的运算，显然cosAB, ACAB ACsin AB, AC ，| AB | AC |从而得 S1 | AB | AC | sinAB , AC 27 C；解析：利用向量数量积
24、的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到8 65；解析： cosa, bab2a, b35| a | b |，得 sin7，从而可得结果791116、 、 ；33解析：9OGOMMG1 OA2 MN1 OA2 (ONOM )23231 OA2 1 (OBOC )1 OA23221 OA1 OB1 OC633| AB |2| BC |2| AC |2 10直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：1139；解析： cosa,bab2k139 13 9 k 2，得 k| a | | b |212解：（ 1）过D作，垂足为，在 Rt中，由 90， 30，DE BCEBDCBDCDCB 2，
25、得 1，3， sin30 3 BCBDCDDE CD211 cos60 1OE OB BEOB BD22 D点坐标为（ 0，1 ,3），即向量 OD 的坐标为（ 0，1 ,3）2222（ 2）依题意：OA（ 3 1,0）,（0, 1,0）,（0,1,0）2,2OBOC，所以ADODOA（33 ）,BCOCOB（0,2,0）, 1,22设向量 AD 和 BC 的夹角为 ，则ADBC30 (1)2301cos 2210 | AD | | BC |(3) 2( 1)2( 3 )202220252213（ 1）证明：AP AB 2 2 40， AP AB又 AP AD 44 0 0， APAD AB、
26、AD是底面 ABCD上的两条相交直线， PA底面 ABCD（ 2）解：设 AB 与 AD 的夹角为 ，则cos ABAD8 23| AB | | AD |41 1616 4105VPABCD 1|AB | | AD |sin | AP | 2105 191 4 11633105（ 3）解： | （ AB AD ） AP | | 4 32 48| 48，它是四棱锥P ABCD体积的 3 倍猜测： |（ AB AD ） AP | 在几何上可表示以AB、AD、 AP 为棱的平行六面体的体积（或以、 、为棱的直四棱柱的体积） AB ADAP14证明： 如图，设 SAr1, SBr2 , SCr3 ，则 SE, SF, SG, SH, SM , SN 分别为1r1 ，2101r3 ) ，11r31r3 ) ，1( r2( r1r2 ) ， (r1r2 ，由条件 EF GH MN得：22222( r2r3r1 ) 2( r1r2r3 ) 2( r1r3r2 ) 2222展开得 r1r2r2 r3 r1 r3 r1( r3r2 )0 ， r1 0 ， r3r2 0 ， r1（ r3r2 ），即 SA BC同理可证 SB AC， SC AB11