数学必修1—必修5基础知识点总结.doc

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1、必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即 、 和 .（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为 、 和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用表示.（3）我们约定用 表示自然数集，用 表示正整数集，用 表示整数集，用 表示有理数集，用 表示实数集.（4）集合的表示方法有 、 和图示法(venn图).2.集合间的基本关系（1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“”和不属于“”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有

2、包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A中有n个元素，集合A的子集个数为 ，非空子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空真子集的个数为 .3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算.4.集合运算中两组常用的结论（1）；（2）；.（二）函数的概念（1）函数的定义设A，B是 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有 和它对应，那么就称为从集合A到集合B 的一个函数，记作.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 .值域是集合B的 .映射：设A，B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f，使

3、对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A到集合B 的映射，记作.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.（2）函数的三要素： 、 及 称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是 及 ，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数设函数的定义域为I：如果对于定义域I

4、内某个区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ； 4.数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的 或 ，即图像的 或 .5函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值.6判断函数单调性的常

5、见方法定义法；图象法；导数法. 7求函数最值或值域的方法单调性法；配方法；换元法；判别式法；图象法；不等式法等.8一些重要函数的单调性的单调区间：增区间 ；减区间 .的单调区间：增区间 ；减区间 .（四）函数奇偶性 (1)奇函数、偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)奇偶性如果函数是奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质奇函数、偶函数的定义域皆关于 对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关

6、于 对称；若奇函数在x=0处有定义，那么一定有 .在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是 数；两个奇函数的和、差仍是 ；奇数个奇函数的积为 ；偶数个奇函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差 .奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1.叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2.函数性质当k0时，为 函数，当k0时，为 函数；当b=0时，函数为正比例函数；3.函数的解析式的三种形式：一般式 ；顶点式 ；零点式 ；4.二次函数的图象与性质的图

7、象是一条抛物线，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，当时开口向上, 当时开口向下；时，抛物线与x轴有 交点.单调性：当时，在 减函数； 在 上是增函数.，相反.奇偶性： 函数；为 函数；（六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂： ；零指数幂：1( ) ；负整数指数幂：= ()； 正分数指数幂： ();负分数指数幂： (); 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 2.幂的运算法则（） ； ； 3.指数函数图像及性质定义图象定义域 值域 定 点单调性4.指数函数具有性质：（七）对数函数1.定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作，其中称对数的底，N称真数.以10为底的对数称常用

8、对数，记作，以无理数为底的对数称自然对数，记作2.基本性质：真数N为正数（负数和零无对数）， ， 对数恒等式：.3.运算性质：如果则；.4.换底公式：， .5. 对数函数具有性质： 6.函数的图像与性质定 义图 象定义域值 域定 点单调性定义域（八）幂函数：的图像1.当时，幂函数有下列性质：(1)在第一象限内，时图像为 型抛物线，图像下凸,时图像为 型抛物线,图像上凸. (2)图像都通过点 ；(3)在第一象限内，随的 ；2.当a0时，幂函数有下列性质：(1)在第一象限内，函数图像为 型，函数值随的增大而 ，图像是向下凸；(2)图像都通过点 ；(3)在第一象限内，图像向上与轴无限地接近，向右与轴

9、无限地接近；（九）函数图像变换1平移变换水平平移： 的图象，可由 的图象向左 或向右 平移 个单位而得到；竖直平移： 的图象可由 的图象向上 或向下 平移 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减.2对称变换与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;的图象可将的图象在 轴下方的部分以 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; 的图象可将的部分作出，再利用偶函数的图象关于轴对称，作出 的部分.3.伸缩变换 的图象，可将 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变而得到; 的图象，可将 图象上所有点的横坐标变为原来的

10、，纵坐标不变而得到.（十）函数的应用1函数零点的定义：对于函数成立的 叫做函数的零点 .2.二分法定义：对于区间上连续，且 的函数,通过不断把函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解.3解函数应用题，一般可按以下四步进行(1)阅读理解，认真审题 (2)引进数学符号，建立数学模型(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果(4)转译成具体问题做出回答必修二（一）多面体和旋转体1多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面围成的多面体叫做棱柱（2）棱锥

11、：有一个面是 ，其余各面都是 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（3）棱台：用一个 去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（4）圆柱：以 为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（5）圆锥：以 为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（6）圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.圆台还可以看成是以 为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以 为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球2多面体和旋转体的面积和体积公式（1）圆柱的侧面积： ；（2）圆锥的侧面积： ；（3）圆台的侧面积： ；（4）球的表面积： ；（5

12、）柱体的体积： ；（6）锥体的体积： ；（7）台体的体积： ；（8）球的体积： .（二）画法1我们把 形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线 2我们把 形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是 在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做 3光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的主视图；光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的左视图；光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的主视图、左视图和俯视图统称为几何体的三视图一般地，一个几何体的左视图和主视图 一样，俯视图与正视图 一样，侧视图与俯视图 一样一般地，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边4斜二测画法的

13、步骤：（1）在已知图形中取 的x轴和y轴，两轴交于点O画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使 （或 ），它们确定的平面表示水平平面（2）已知图形中 于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于轴或轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，长度为 （三）点线面位置关系1四个公理公理1如果一条直线上的 ，那么这条直线在此平面内；公理2过 ，有且只有一个平面；公理3如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们 过该点的公共直线；公理4 的两条直线互相平行；2异面直线（1）我们把 的两条直线叫做异面直线（2）空间两条直线的位置关系：（3）已知两条异面直线a、b，

14、经过空间任一点O作直线a，b，我们把与所成的 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 3空间中直线与平面之间的位置关系：（1） 有无数个公共点；（2） 有且只有一个公共点；（3） 没有公共点；直线与平面 的情况统称为直线在平面外4平面与平面之间的位置关系：（1） 没有公共点；（2） 有一条公共直线（四）平行问题1定义： ，则称此直线l与平面平面，记作 ；直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与 平行，则该直线与此平面平行；用符号表示： 2直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过 与该直线平行；用符号表示： 3

15、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的 另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示: 几个结论：如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4平面与平面平行的性质定理： ；且符号表示： 5直线与平面垂直的性质定理： 用符号表示： （五）垂直问题1定义：如果直线l和平面内的 都垂直，那么直线l和平面垂直，记作 2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直用符号表示： 3直线与平面垂直的性质定理： 用符号表示： 4平面与平面垂直的判定定理：

16、用符号表示： 5平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直用符号表示： 几个结论：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内（六）角问题1已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a，b，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）两异面直线所成角范围2平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所

17、成的角是0的角直线和平面所成角范围3从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来衡量平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角范围（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线与x轴相交时,我们取 为基准, x轴的 与直线 所成的角叫做直线的倾斜角.并规定:直线与x轴 时,它的倾斜角为.直线的倾斜角的取值范围是 .2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的 叫做这条直线的斜率

18、,斜率常用小写字母k表示.直线倾斜角与斜率k的关系式为 .当k= 时,直线平行于x轴或者与x轴重合;当k 0时,直线的倾斜角为锐角;当k0），所以判断点与圆的位置关系，只需判断 与半径的大小关系即可。2.圆的一般方程 方程，则可变形为,只有当 时，才表示圆，圆心（ ），半径 ,当 时，表示点（ ），若0， 。（十）直线和圆圆和圆位置关系1.点和圆的位置关系点到圆心距离 半径，点在圆上；点到圆心的距离 半径，点在圆内；点到圆心的距离 半径，点在圆外.2.直线与圆有三种位置关系 直线与圆 ，有两个公共点；直线与圆 ，只有一个公共点；直线与圆 ，没有公共点；3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种

19、设圆心到直线的距离为，圆的半径为，若 ，直线与圆相交；若 ，直线与圆相切；若 ，直线与圆相离。直线与圆的方程组成方程组，若方程组有 解，则直线与圆相交；若方程组有 解，则直线与圆相切；若方程组 解，则直线与圆相离. 4. 判断圆与圆的位置关系:设两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则 时，两圆外离； 时，两圆外切； 时，两圆相交； 时，两圆内切； 时，两圆内含.必修三（一）算法1.算法通常是指用计算机来解决的某一类问题的 程序或步骤 ，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形几种常用的图形

20、符号的名称及作用如下：图形符号名称作用表示算法的开始或结束赋值、计算、数据传送输入的数据或信息的输出根据条件决定不同的流向3.算法的三种基本逻辑结构是 、 和 .4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的 输入 和 输出 功能其一般格式为：输入语句： 输出语句： 5.赋值语句的功能是给变量 赋初值或计算 ，其一般格式是： 变量=表达式 。6条件语句表达算法中 条件 结构其一般格式为： 格式一7.循环语句有两种类型，其一般格式是：格式一格式二格式三7.更相减损术：求两个自然数m，n的最大公约数的算法。将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的数比较，再重复以上过程，直到两个数相等时为止，这时这两

21、个相等的数就是m，n的最大公约数。8.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法。方法是将多项式通过加括号变形，如.这样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次计算都是相同的过程将上次的结果乘以x再加下一个系数，这样很容易用计算机来实现。注意计算时若有系数为0的项要补上该项（二）统计一、抽样方法 1.简单随机抽样适用范围： 2.系统抽样的适用范围： 3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样(2)抽取数量的计算：各层抽取的数量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有30

22、0，200，400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300200400，即324.(3)适用范围：总体容量N较大，且个体差异明显(有明显的层次).二、用样本估计总体1.用样本频率分布估计总体频率分布(1)频率分布直方图的做法 ； ，组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般有规定)；数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布表；画频率分布直方图：图中纵轴表示 ，各小矩形的面积= .(2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便。2.用样本的数字特征估计总体(1)众数：出

23、现次数最多的数.若用频率分布直方图来估计众数，则可用最高矩形的横坐标的中点表示.众数可能不只一个.中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数.若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数.平均数：的平均数为:(2)标准差：的标准差为标准差的平方叫方差，用表示.标准差(或方差)越小，说明数据 ；标准差越大说明数据 . 三、变量间的相关关系线性相关与最小二乘法回归直线：叫做回归中心，回归直线必定经过回归中心.（三）概率一、随机事件的概率1.概率的相关概念(1)事件；(2)频数与频率；(3)概率： (4)互斥事件： 对立事件： 2.概率的性质:(1)0P(A)1.(2)必然事件

24、的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)若A，B互斥，则有P(A+B)= .(4)若A，B对立，则P()= .二、古典概型1.基本事件：任何两个基本事件都是互斥的；任何一个事件都可以表示成基本事件的 和 .2.古典概型：满足以下两个条件的概率模型： ； 3.古典概型概率公式：P(A)= 三、几何概型1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2.几何概型概率计算：P(A)= 必修四（一） 角的概念1.任意角(1)终边相同的角：所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S= (2)终边在x轴正半轴上的角的集合：

25、终边在x轴负半轴上的角的集合： 终边在y轴正半轴上的角的集合： 终边在y轴负半轴上的角的集合： 终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合： 2.弧度制(1)定义： 叫做1弧度的角.(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角弧度数的绝对值是 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定.注意：弧长公式： 扇形面积公式：= = (3)换算:360=2, 180=1=rad0.01745rad1rad= (4)一些特殊角的弧度数及函数值度:0,30,45,60,90,120,135,150,180,270,360.弧度：0，.要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.3.三角

26、函数的定义（1）初中直角三角形中的定义；（2）坐标法定义：设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点，令，则 ， ， 4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值5.三角函数线：设任意角的终边与单位圆交于点.过点作轴的垂线，垂足为.过点作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点，则有： ， ， .（二）诱导公式及同角关系式1.同角三角函数的基本关系式：平方关系： 商数关系：.2.诱导公式记忆口诀：口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（三）三角函数性质1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在上图象的形状时，

27、起关键作用的五个点是 ，余弦的是 .2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是 ，两线是 .3.三角函数的图象和性质：4.三角函数的奇偶性函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.5.五点法作函数的图象分别令取，求出相应的值与值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一个周期的图象，通过左右平移，就得到在上的图象.6.的物理意义：叫 ，决定图象最高（低）点的位置；叫 ，叫 ，影响图象的零值点； 影响其周期，.通常情况下，可正可负，也可为.7.由的图象可有两条途径得到的图象： 先相位变换，再周期和振幅变换；先周期或振幅变换，再相位变换，此

28、时横坐标的平移量为个单位.（四）三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式(如上知识结构).2.辅助角公式：，其中，.3.注意拼角、拆角的技巧：如，等.4.注意公式的“三用”：正用，逆用，变形用.等（五）平面向量的概念1.向量的基本概念（1） 叫做向量.(2)向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作，的模为.(3) 叫做零向量，记作 . ，叫做单位向量 叫做平行向量，也叫 向量规定：零向量与任一向量平行 叫做相等向量2.平面向量的线性运算(1)加法 ：定义：已知非零向量a、，在平面内任取一点，作，则向量 叫做与的和，记作求两个向量和的运算，叫做向量的加法

29、上述方法称为向量加法的 法则 平行四边形法则： 对于零向量与任一向量，规定：性质 ； （）（） (2)减法与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作零向量的相反向量仍是零向量任一向量与其相反向量的和是 ，即（）（）定义:（），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量已知,在平面内任取一点，作,则,即可以表示为 的向量，这是向量减法的几何意义(3)数乘：定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：1 ；2当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 运算律：设、为实数，那么1（） 2（） 3（） 向量共线条件:,共线（） (4)线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.（六）平面向量基本定理及表示1.平面向量基本定理 称不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组 叫做向量与的夹角如果与的夹角是，则称与垂直，记作2.向量的正交分解 叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(