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1、反比例函数知识点回顾及考点透视一、知识点剖析反比例函数y=是初中阶段的基本函数，主要学习它的概念、图象、性质、反比函数函数的解析式求法以及简单的应用：（一） 反比例函数概念的理解反比例函数式形式是y=，理解概念，判别函数是否是反比例函数，可从以下两个方面判断：其一，如果两个变量x、y的积是一个常数，它是反比例函数，其二，形如式子，叫做反比例函数。或y=kx注意：（1）自变量x的次数是-1，（2）比例系数k0例1 若函数y=(m-1)是反比例函数，则m的值等于 解析：由定义知，解得m=-1例2（2004年北京市）我们学习过反比例函数. 例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系
2、式可以写为a =（S为常数，S0）.（二）正确把握反比例函数性质反比例函数与正比例函数图象性质比较分析例1（2005年天水、陇南市）若函数y =与函数y =kxk的图象均不经过第二象限，则k的取值范围是 .解析：根据函数的性质，由反比例函数y =的图象不经过第二象限，k 0.当k 0时，一次函数y =kxk的图象经过第一、三、四象限，即其图象不经过第二象限.k 0.例2（2005年南京市实验区）反比例函数y=的图象位于（ ）A、第一、二象限B、第一、三象限；C、第二、三象限D、第二、四象限解析：根据反比例函数的图象的性质：当k 0时，两支曲线分别在第一、三象限内，当k 0时，两支曲线分别在第二
3、、四象限内.由k =2 0，所以这个反比例函数的图象在第二、四象限.故应选D.例3（2005年深圳市实验区）函数y=（k0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的（ ）A、第一、三象限B、第三、四象限；C、第一、二象限D、第二、四象限.解析：函数y=（k0）的图象过点（2，-2），所以，2 =，则k =4 0，根据反比例函数的图象的性质，得波长l越大，频率f就越小.例6 已知点A(2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y的图像上，则（ ）（A） y1y2y3 （B） y3y2y1 （C） y3y1y2 （D） y2y10,而点A(2，y1)，B(1，y2)
4、在第三象限,所以y10,y20,根据反比函数的性质可知,在每个象限内y随x的增大而减小,所以y2y10, 故y2y10）,因为函数是反比例函数,所以它的图象是双曲线,又因为x0,所以此函数的图象是双曲线的在第一象限的一个分支故选(D)评注:本题易出现漏掉自变量范围的确定,而错误地选择(A)例2（潍坊市）已知ab，且a0，b0，a+b0，则函数yax+b与y在同一坐标系中的图象不可能是如图1所示中的（ ）OxyA.OxyB.OxyC.OxyD.图1分析若能先确定了a、b的符号，即可先判断函数yax+b的位置，进而可以进一步判断y的位置了.解由于ab，若设a0，b0，则a+b0或a+b0，即A和C
5、都有可能，若设a0，b0，则a+b0，则只有D可能，即B永远是不可能的.故应选B.（四）求反比例函数解析式A、借助所给的点的坐标求由于反比例函数的解析式为（），只有一个待定字母，所以求反比例函数的解析式，只要给出一个点的坐标就可以了.例1.图象过点（1，2）的反比例函数的表达式是_.解：设该反比例函数的表达式为，由于该函数的图象过点（1，2），所以把它代入，得122.所以该反比例函数的表达式为.【同类题拷贝】1.已知反比例函数的图象经过点（1，3），则它的解析式为（ ）.（A） （B） （C） （D）2.如果反比例函数的图象经过点（1，2），那么这个反比例函数的解析式为_.答案：1.（A）；2
6、.（例2题图）B、借助所给的图象确定例2.如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）.（A）y = x （B）y = （C）y = x2 (D) y = 解析：由所给的图象可知该函数为反比例函数，故可排除（A）、（C），又由于该反比例函数的图象在第一、二象限，故，故应选（D）.【同类题拷贝】1.某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R()成反比例，图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )（A）（B） （C）（D）2.如图，反比例函数与直线相交于点A，A点的横坐标为1，则此反比例函数的解析式为（）（A） （B）（C） （D）答案：1.（A
7、）；2.（C）；C、借助物理、化学、数学等的相关公式确定例3.一定质量的干松木，当它的体积V2m3时，它的密度0.5103kg/m3，则与V的函数关系式是（ ）（A） 1000V（B） V1000（C） (D) 解析：由物理学上的公式：物体的密度，所以一定质量的干松木，当它的体积V2m3， 它的密度0.5103kg/m3，其质量为20.5103 1000.故与V的函数关系式是：.故应选（D）.【同类题拷贝】1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）是气球体积V（米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）.写出这个函数解析式；O20015010050
8、0.5 1 1.5 2A(1.5,64)V(米3)P(千帕)答案：解：根据题意，设所求面积解析式为 ， 把A（1.5，64）代入，得k=96， 所求函数解析式为.（五）用反比例函数知识解决实际问题实际问题与反比例函数相结合的问题仍是今后中考命题的热点，多以填空题、选择题及少量综合题的形式出现，主要考查反比例函数的性质，数形结合思想、综合运用函数思想等.例1（2006年南昌）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0. 25m，则y与x的函数是关系式为 【解析】依题意，设，则k=xy=0.25400=100，故y与x的函数是关系式为【评注】确定一个反比例
9、函数关系式的关键是求得非零常数k的值.例2（2006年河北）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体当改变容积V时，气体的密度也随之改变与V在一定范围内满足，它的图象如图3所示，则该气体的质量m为（ ）V（m3）（kg/ m3）O（5,1.4）图31.45A1.4kg B5kg C6.4kg D7kg【解析】从已知图像信息知，V=5， =1.4， 则m=V=1.45=7.故选D【评注】应用反比例函数解实际问题，尤其是跨学科应用反比例的图像和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一这需要明确题目所给的信息，建立反比例函数模型，进而解之例3（2006年新疆）请你举出一个生活中
10、能用反比例函数关系描述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象举例：函数表达式：【解析】举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长（米）与宽（米）之间的函数关系式为【评注】本题答案不惟一.只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可例4（2006十堰）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如下图所示（1）请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；（2）当木板面积为时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？0200400600432
11、.521.51【解析】：（1）（解析式与自变量取值范围各1分）（2）当时，即压强是（3）由题意知，即木板面积至少要有【评注】本题利用物理知识.反比例函数与其他学科知识的应用，已成为近几年中考热点之一.解题的关键是要把实际问题抽象成反比例函数模型.例5、某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示： （1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米时？ （3）果限定汽车的速度不超过30米秒，则F在什么范围内？【解析】：（1）由P= Fv= 20 3000=60000=6 104，v=
12、；（2）当F=1200时，v=50（米秒）=180（千米时），所以，当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米时；（3）当v=30米秒时，代入v=则F=2000（牛），所以，当30米秒时，即30则F2000（牛）所以如果限定汽车的速度不超过30米秒则F应大于等于2000牛【评注】从图上获取有用信息是解题的关键.例6. 如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题:这个图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系?请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理，且符合图象所示的情形的实际例子;写出你所举例子中两个变量之间的关系式，并指出自变量的取值范围;说出图象中A点在你所举例子中的实际意
13、义.【解析】: 本题的答案是开放的，只要合情合理即可.图象是反比例函数图象的一支，故可以判断这两个变量的关系是反比例函数的关系;如蓄电池的电压为定值，使用此电池时，电流强度y(A)与电阻x()之间的函数关系如上图所示，则蓄电池的电压是多少?写出此函数的表达式.根据图象可设，因为A(2，3)在函数图象上，所以，所以k=6，即蓄电池的电压是6V.电流y与电阻x的函数关系是，自变量x的取值范围是x0.当x=2时，y=3，即当电阻为2 时，电流强度为3A.【评注】利用函数图象解决实践问题时，首先明确图象的性质，然后根据性质进行解答.例6（2005年临沂略改动）、某厂从2001年起开始投入技术改进资金，
14、经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具休数据如下表：年 度2001200220032004投入技改资金x（万元）2.5344.5产品成本y（万元/件）7.264.54请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元预计生产成本每件比2004年降低多少万元？如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？【分析】（1）任选一组或两组数据，列出相应的反比例函数、一次函数解析式，再把其他组数
15、据代入解析式中，即可确定函数解析式;（2）把所给数据代入到函数解析式中直接求解.解：设其为一次函数，解析式为 当时，；当时，解得 所以一次函数解析式为，把时，代入此函数解析式左边右边故其不是一次函数设其为反比例函数，解析式为，当时，可得，得，所以反比例函数为 验证：当时，符合反比例函数同理可验证：时，；时，成立故可用反比例函数表示其变化规律：当万元时， 因为（万元）所以生产成本每件比2004年降低0.4万元当时，得 因为（万元）则还需投入0.63万元【评注】已知多数据确定函数解析式在历年中考试题均有所涉及，解题的关键是灵活掌握各类函数的特点及性质，一般情况下要采取各个验证的方法.例7某市上年度
16、电价为每度0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调整，经测算若电价调到x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x0.4)元成反比例，当x=0.65y=0.8如果新增用电量1亿度，电价是多少?析解：先求出函数的解析式，再求出电价，因为本年度新增用电凉y亿度与(x0.4)元成反比例，所以，x=0.65时y=0.8代入解得k=0.2所以当y=1时代入求得x=0.6， 所以电价应调到0.6元点评：解决实际问题时，关键是对问题的审读与理解，通过读题找出题目中的条件信息，把握其中的方程、函数思想，能用一个变量表示另一个变量，建立等量关系，从而把实际问题转化为数学问题，利用相关数学知识解决问题（六）反比
17、例函数错例剖析反比例函数是继一次函数之后同学们学习的又一新型函数，由于有些同学由于对反比例函数概念理解不到位,性质把握的不准确等等原因,而在解题过程中出现了一些错误.大致有以下三种常见情况.A、忽视比例系数不为零导致失误例1.（山西省中考题）若函数是反比例函数，则m的值为（ ）（A）m2 （B）m1（C）m2或m1 （D）m2或m1错解：函数是反比例函数，解得m2或m1.故选（D）.剖析：本题难度不大，属基本题.主要考察同学们对反比例函数意义的理解，要特别注意把反比例函数的形式写成类似整式的形式：，这是用负整数指数形式来表示的，这时自变量的指数为负1，仍然有这个必备条件.错解就错在这一点上.正
18、确解法应为：由题意，得得因此，m2，应选（A）.说明：是反比例函数定义的重要组成部分，一定不能忽略.B、忽视实际问题中自变量的取值范围导致失误例2.甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地的时间（小时）表示成汽车平均速度（千米/小时）的函数并画出函数的图象.错解：，图象如图1所示. 图1 图2剖析：在利用描点法画反比例函数的图象时，一定要注意自变量的取值范围，本题中自变量不能取负数，所画图象只是双曲线在第一象限的一部分，正确图象如图2所示.C、忽视反比例函数的性质成立的条件导致失误例3.（盐城市中考题）在函数（a为常数）的图象上有三点：（1，y1）、，则函数值y1、y2
19、、y3的大小关系是（ ）（A）y2y3y1 （B）y3y2y1（C）y1y2y3 （D）y3y1y2错解；是反比例函数，且ka210，y随x的增大而增大.又，故选（C）.剖析：当时，反比例函数的图象在二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，但点（1，y1）与不在同一象限内，因而不能由，就断定.正解如下：，y随x的增大而增大，且函数图象分布在第二、四象限内.， .在第二象限，而（，）在第四象限，. .故选（D）.说明：本题有一定难度，它考察同学们对反比例函数图象的性质及其增减性的理解，对同学们的分析、综合、应用有较高的要求.在应用反比例函数图象性质的基础上，同学们应会正确地比较在不同象限分支上点的纵坐标值的大小关系，即函数值的大小关系.