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1、第一章 分式分式的概念：一般的，用表示两个整式，就可以表示成的形式如果中含有字母，式子就叫做分式其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式一个分式的分子和分母没有公因式时
2、，叫做最简分式，也叫既约分式把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示是：(其中是不等于零的整式)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变如：分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各
3、项系数是小数时，这个“适当的数”一般是，其中等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小(1)； (2) 分式的运算法则1、 分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘用式子表示是：；2、 分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方用式子表示是：(为整数)3、分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示是：；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减用式子表示是：分式的混合运算关键
4、是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的例、计算分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减如：(为正整数，)注意：()；为正整数)科学计数法：把一个数记成的形式，其中：是整数，这种记数法叫做科学记数法第二章三角形命题、定理、证明命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题注意：命题的定义包括两层涵义：命题必须是一个完整的句子；这个句子必须对某件事情做出判断例如：“
5、直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题“连结P、Q两点” 、“过点p作直线l”等都不是命题命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果，那么”如果对应命题的题设(条件)部分，那么对应命题的结论部分。 命题的分类：所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题注意：对于假命题并不要求：在题设成立时，结论一定错误，事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了，因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“同位角相等，两直线平行
6、” 、“两直线平行，同位角相等”等注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理而都承认的真命题公理可以作为判定其它命题真假的根据定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，如“内错角相等，两直线平行” 、“两直线平行，内错角相等”等等注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理，一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以用它们为根据推证其它命题，这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断如“对顶角相等”这个命题，如果只采用测量的方法，只能测量有限个对顶角是相等的，但采
7、用推理方法证明了对顶角相等，那么就可以确信一切对顶角相等证明的一般步骤：(1) 根据题意，画出图形；(2) 根据题设、结论、结合图形，写出已知求证；(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程注意：在一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时，只要写出“证明”一项就可以了证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然” ，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理，在初学证明时，要求把根据写在第一步推理后面的括号内，其中像等量代换，利用等式性质加减乘除等代数运算可不注理由三角形的基本概念三角形的概念如图，由不在同一直线上的三条
8、线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角三角形的主要线段：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的中线是一条线段（平分三角形的面积）从三角形一个顶点向它对边画垂
9、线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线三角形的稳定性： 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性三角形的这个性质在生产和生活中应用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状三角形有下面三个特性：三角形有三条线段；三条线段不在同一条直线上；首尾顺次连接以上三点表明三角形是封闭图形，如图就不是三角形 “三角形” 用符号“” 表示，顶点是的三角形记作“” ，读作“三角形” 三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：三角形按角的关系可以如下分类：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形它是两条直角边相等的直
10、角三角形注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边推论：三角形两边之差小于第三边三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围证明线段不等关系三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 推论：直角三角形的两个锐角互余三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角三角形的面积 三角形的面积底高全等三角形的
11、概念能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角夹边就是三角形中相邻两角的公共边夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角全等三角形的表示和性质下图中的两个三角形能够完全重合，就是全等三角形，“全等”用符号“”来表示，读作“全等于” 下图中的和全等，记作“” 注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等这是全等三角形的性质三角形全等的判定三角形全等的判定公理
12、：三角形全等的判定公理有下面几个：(1)边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS” )(2)角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA” )这个公理还有下面的推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS” )(3)边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS” )三角形全等判定公理的选择：如何选择哪种判定公理必须根据已知条件而定，详细内容见下表：已知条件可选择的判定公理一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边
13、对应相等SAS SSS等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)即：在中，若，则推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于等腰三角形的其它性质：1、 等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量2、 等腰直角三角形的两个底角相等且等于3、 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)4、 等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为，则等腰
14、三角形的三角关系：设顶角为，底角为，则有：，等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形注意：推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形。证明一个三角形是等腰三角形的方法：1、利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形2、等腰三角形的判定定理：等角对等边证明一个三角形是等边三角形的方法：1、利用定义证明：证明三条边相等2、证明三角形三个角相等3、证明它是等腰三角形并且已有一个角是等
15、腰三角形的性质与判定：等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边2、等腰三角形两
16、腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形2、有两条高相等的三角形是等腰三角形角等边对等角等角对等边边底的一半腰长”读作“大于” ，表示其左边的量比右边的量大；(3)“，)画空心圈不等式的基本性质不等式基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变不等式基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变不等式基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变一元一次不等式的概念：一般的，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边
17、都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；将项的系数化为1注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤例、解不等式解：去分母得：去括号得：移项得：合并同类项得：系数化为1，得：一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集一元一次不等式组的解
18、法：分别求出不等式组中各个不等式的解集；利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集例、求不等式组：的整数解解：由(1)得：，由(2)得：，由(3)得：在数轴上表示出不等式(1)，(2)，(3)的解集如下图所示：则不等式组的解集是：不等式组的整数解是：注意：从上面的例题我们可以概括出求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了第五章 二次根式二次根式的概念：式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“” ；被开方数必须是非负数如，都是二次根式最简二次根式：若二次根式满足:被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因
19、式，这样的二次根式叫最简二次根式，如，是最简二次根式，而，就不是最简二次根式化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式如和一定是同类二次根式合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的
20、因式相加，根式指数和被开方数都不变分母有理化：把分母中的根号化去，叫分母有理化如 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式如；和；都是互为有理化因式注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算二次根式的性质(1)(2)(3) (4)二次根式的运算法则：二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变即：()此法则可以推广到多个二次根式的情况二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：()此法则可以推广到二次根式的混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)例1、 计算：分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于分母有理化比较麻烦，我们应注意到；，这样做起来就比较简便例3、已知，是的整数部分，是的小数部分，求的值分析：先将分母有理化，求出的值，再求代数式的值