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1、备课资料一、向量的向量积在物理学中 , 由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要 , 就必须引进两向量乘法的另一运算向量的向量积. 定义如下 :两个向量 a 与 b 的向量积是一个新的向量 c:(1)c 的模等于以 a 及 b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c 垂直于平行四边形所在的平面 ;(3)其指向使 a、b、c 三向量成右手系设想一个人站在c 处观看 a 与 b 时 , a 按逆时针方向旋转一个小于180的角而达到b.图 5向量 a 与 b 的向量积记作a b.设 a 与 b 两个向量的夹角为 , 则 | a b|=| a| b|sin .
2、在上面的定义中已默认了a、b 为非零向量 , 若这两个向量中至少有一个是零向量, 则ab=0.向量的向量积服从以下运算律:(1) a b=- ba;(2) a(b+c)= a b+ac;(3)(m a) b=m(a b).二、备用习题1. 已知 a, b, c 是非零向量 , 则下列四个命题中正确的个数为()|a b|=| a| b|a b a 与 b 反向a b=-| a| b|a b| a+b|=| a- b|a|=| b| ac|=| b c|A.1B.2C.3D.42. 有下列四个命题 :在ABC中 , 若 AB BC 0, 则ABC是锐角三角形;在ABC中 , 若 AB BC 0,
3、则ABC为钝角三角形;ABC为直角三角形的充要条件是AB BC =0;ABC为斜三角形的充要条件是AB BC 0.其中为真命题的是 ()A. B. C.D.3. 设 | a|=8,e 为单位向量 , a 与 e 的夹角为60, 则 a 在 e 方向上的投影为 ( )A.43B.4C.42D.8+32用心爱心专心14. 设 a, b, c 是任意的非零平面向量, 且它们相互不共线, 有下列四个命题:(a b) c-( c a) b=0;|a|-| b| a- b|;(b c) a-( c a) b不与c垂直; (3 a+2b) (3 a-2 b)=9| a| 2-4| b| 2.其中正确的是 (
4、)A. B. C.D.5. 在ABC中 , 设 AB =b,AC =c, 则(| b | c |)2(bc) 2 等于 ( )A.01C.SD.2SB.SABCABCABC26.设 i , j 是平面直角坐标系中x 轴、 y 轴方向上的单位向量 , 且 a=(m+1)i -3 j , b=i +(m-1) j ,如果 ( a+b) (a- b), 则实数 m=_.7.若向量 a, b, c 满足 a+b+c=0, 且 | a|=3,| b|=1,|c|=4, 则 a b+bb+c a=_.8. 设 | a|=3,| b|=4, a 与 b 的夹角为 150, 求 :(1)( a-3 b) (2
5、 a+b);(2)|3 a-4 b|.9. 已知 | a|= 2 ,| b|=3, a 与 b 的夹角为 45, 且向量 a+b 与 a+ b 的夹角为锐角 , 求实数 的取值范围 .10. 已知 | a|=2,|b|=1, a 与 b 的夹角为, 求向量 m=2a+b 与 n=a-4 b 的夹角的余弦值.3解答 :1.C 2.B 3.B 4.D 5.D6.-2 7.-138.(1)-30+303;(2) 3371143 .9. | 1185 .6610. 由向量的数量积的定义, 得 a b=21cos=1.3222m=2a+b, m=4a +b +4a b=44+1+41=21. | m|=21 .222|n|=23 .设 m与 n 的夹角为 , 则 m n=| m| n|cos .又 m n=2a2-7 a b-4 b2=24-7-4=-3.把 m n=-3,|m|=21 ,| n|=23 代入式 , 得 -3=21 2 3 cos ,cos =77, 即向量 m与向量 n 的夹角的余弦值为.1414用心爱心专心2