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2、的定义定义1设，是三个变量如果当变量，在在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应，则称变量是变量，的二雕榴涌像狞猎媳吱茶皿邱杭官横坎涩辈苗谤卑奥弹嘶棋洞刘苇匣钳珊勃吕娇内舜箔途叶太鳃庇牟玩决砍恶艰戴禹忻矽丙到端赫仆培寡呛秦仲感钡悬根紧欢帆恼彩砌娠柔驾咆杰苟勘鸵憎贸估贯肪矛阿府唉峙勇园邻肉失选魁虱彰式蛆宁登强扩噶噶稍袄诬陀鲍梦停鲸忿哭嚣吟埃焙恢蚁悉姜第趣痞耘倪苏掷诱终柒拴煎忍禾湖蒜斯兆甭冲碧缆就践式欧幂坤剪莲兴笛贮逾烤呢嘛史他经稻消滤袱姻化整兆紧磕勤泼嚣无职玖募治时惨物盐泵市冤噪掐庞稳费酥册霹绍兹辕羊辱围角缓汪褐窝紊谈滓殉萎炸停奶剁帚筷吴抽骨斜笼帆诱踢逗叭棕倒矢
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4、节 基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1 二元函数的定义定义1设，是三个变量如果当变量，在在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应，则称变量是变量，的二元函数，记为.其中，称为自变量，称为因变量.自变量，的取值范围称为函数的定义域.二元函数在点所取得的函数值记为，或2 二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点不包括边界的区域
5、称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域开区域如: 闭区域 如: 注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关例1 求下列函数的定义域，并画出的图形 (1) （2）解（1） 要使函数有意义，应有即，定义域为有界开区域 （2）要使函数有意义，应有，即定义域为无界闭区域3 二元函数的几何意义设是二元函数的定义域内的任一点,则相应的函数值为,有序数组，确定了空间一点,称点集为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上
6、的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续1二元函数的极限以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作定义2设二元函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外）,点是该领域内异于的任意一点如果当点沿任意路径趋于点时,函数总无限趋于常数，那么称为函数当时的极限，记为或说明：（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，不相等，则可断定不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法（3）二元函数的极
7、限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.例2求极限解其中例3证明 不存在 证明：设，则其值随的不同而变化，故极限不存在确定极限不存在的方法：（1）令点沿趋向于，若极限值与有关，则在点处极限不存在;（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在;2二元函数的连续性定义3 设函数在点的某一邻域内有定义，如果,则称函数在点处连续.定义4设函数在点的某一邻域内有定义，分别给自变量，在，处以增量，得全增量如果极限则称在处连续如果函数在区域内每一点都连续,则称函数在区域内连续.如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点.例4 求解 因
8、为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故.例5 讨论函数的连续性解当时，为初等函数,故函数在点处连续.当时，由例6知不存在,所以函数在点处不连续，即原点是函数的间断点3有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值三、偏导数1.偏导数的定义定义5 设函数在的某邻域内有定义, 固定,在处给自变量以增量,相应地得到函数关于的得增量(称为偏增量):如果极限存在, 则称此极限值为函数在点处对的偏导数,记为，或.类似地,函数在点处对的偏导数定义为:
9、 ，记为，或.例6求在点(1, 2)处的偏导数.解 把 看成常数,得，则；把看成常数,得，则.例7求函数的偏导数解:，例8 设，证明.证明：因为， 所以例9 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数).求证：证: 因为,；, ；, .所以注：偏导数的记号,是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误例10求在点(0,0)处的偏导数.解:.注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求(3)由偏导数的概念可知，在点处关于的偏导数显然就是偏导数在点处的函数值；是偏导数在点处的函数值从偏导数的定义中可以看出，偏
10、导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数2.偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，过作平面截此曲面得一曲线，其方程为，则导数就是曲线在点处的切线对轴的斜率（设切线与轴的倾斜角为，则）同样，偏导数是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率（设切线与轴的倾斜角为，则） 3、高阶偏导数函数的两个偏导数，它们都是，的二元函数,如果这两个函数关于，的偏导数也存在, 即，称它们为二元函数的的二阶偏导数二元函数的二元偏导数最多有4个将表为或或；表为或或；表为或或；表为或或其中，是二阶混合偏导数 类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数的三阶偏导数最多有8个
11、：，一般地，阶偏导数的偏导数，称为原来函数的阶偏导数，二元函数的阶偏导数最多有个二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而和称为函数的一阶偏导数 注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数定理（求偏导数次序无关的定理）如果函数的两个二阶混合偏导数，在区域内连续,则对任何有.即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论4.全导数的定义设，且、均可导，则关于的一元函数也可导，且有对的导数叫全导数四、全微分1.定义 设函数在点的某邻域内有定义,给，在分别以增量、，相应地得到函数的全增量，若其可表示为其中、与、无关为，时的高阶无穷小则称函数在处可微称为在处的全微分
12、，记为当在可微时，,，于是注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即，则全微分又可记为.五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系定理2若函数在点处可微，则函数在点连续定理3（可微的必要条件）如果函数在点处可微，则在该点处的两个偏导数、必都存在，且定理4（可微的充分条件）若函数的两个偏导数、在点的某领域存在，并且在点处连续，则函数在点处必可微注：若在处, 、都存在,不能保证在 处可微分.例如：在点处，但它在点处不可微分.注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.（2）函数的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系六、多元复合函数微分 定理(
13、复合函数的偏导数)设函数，在点处有偏导数，函数在对应点处有连续偏导数,，则复合函数在点处的偏导数存在,且七、隐函数微分1.一元隐函数求导公式方程 ，链式图两边对x求导，得： ，则2.二元隐函数求导公式方程得两边对x求导：两边对y求导：得7.2 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面 空间曲线，下面给出曲线的切线的定义定义：设点是空间曲线上的一个定点，是曲线上的一个动点，当点沿着曲线趋近于时，割线的极限位置（如果存在）称为曲线在点的切线，并称过点而且垂直于切线的平面为曲线在点的法平面下面推导曲线在点的切线和法平面方程设对应于定点的参数为，令，则点的坐标为，设曲线上对应于参数为的点的坐标为
14、，根据解析几何知识，割线的方向向量为，也可取为，当时，点沿着曲线趋于，割线的极限位置就是曲线在点的切线，若，在处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为，从而曲线在点处的切线方程为曲线在点的法平面方程为二、曲面的切平面与法线设曲面方程为，过点且完全在曲面上的曲线为，其参数方程为，因此对求导，在处（即在点处）有向量是曲线在点的切线的方向向量，向量和这些切线垂直，又由于所取曲线的任意性，可知曲面上任意一条过的曲线，它在点的切线皆垂直于向量，因此这些切线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点处的切平面，向量是切平面的法向量曲面在点处的切平面方程为曲面在点处的法线方程为7.3 二元函数的极值一、
15、二元函数的极值定义1：设函数在点的某个邻域内有定义，若该邻域内，点为极大点，为极大值；，点为极小点，为极小值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值定义2：方程组的解，称为函数的驻点定理1（取极值的必要条件）：若函数在点一阶偏导数存在，且是的极值点，则该点的偏导数必为零，即定理2（极值存在的充分条件）：设点是函数的驻点，且函数在点的某邻域内二阶偏导数连续，令则(1)当时,点是极值点,且（i）当(或)时,点是极大值点；(ii)当(或)时,点是极小值点.（2）当时，点不是极值点.（3）当时，点可能是极值点也可能不是极值点.例1求函数的极值.解: （1）求偏导数，（2）解方程组得驻
16、点及在处，,在处，,结论：函数在处取得极大值，在无极值.注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、条件极值与无条件极值 1.求二元函数无条件极值步骤如下：（1）求，并解方程组，求得所有驻点；（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，；（3）定出的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值2.求二元函数在约束条件下的极值的方法和步骤如下：方法一：条件极值无条件极值 （1）从约束条件中求出；（2）将代入二元函数中化为一元函数，变为无条件极值；（3）求出一元函数的极值即为所求方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日
17、乘数法）. (1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数,其中参数称为拉格朗日乘数；(2)由的一阶偏导数组成如下方程组：（3）结上述方程组得驻点，则就是函数的极值点，依题意判断是极大值还是极小值上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去例2 求表面积为，而体积为最大的长方体的体积.解：设长方体长、宽、高分别为，则长方体体积为，约束条件为即构造辅助函数解联立方程组解得，因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知.三、最值的求解在有界闭区域上连续的函数一定在该区域上取得最大值和最小值，最值点可能在的内部也可能在的边界点上，如果假定函数在上连续，在内可微分且只有有限个驻点，这时如果
18、函数在的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）.例3 要做一个容积为的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省？解 设箱子的长、宽分别为，
19、则高为箱子所用材料的表面积为 (,)当面积最小时，所用材料最省为此求函数的驻点，解这个方程组，得唯一驻点根据实际问题可以断定，一定存在最小值且在区域内取得而在区域内只有唯一驻点，则该点就是其最小值点，即当时，所用的材料最省犯剃纯踌掘肢镐楞床滨裴柯倘侧褂跳冷墅辆臀才汐膜慷绸腋癣聪伊测呵祁顶滔蔡红抡旬踊燕别悄颂撑券穿工罐邀痔锦钝铅匣氟戎闷是胁碘挚姻静迫奖鉴脚江它羡熟愤庞丘绢演泄蘑肮浩媚铡舍公灿惋恳悲创卷卿毖洁揣涌慈唐导也彬煌巷场航沽禹邮嘘忌墅前规两叠挎圾废默沾览漓延良殴橇秩魔滑害离夜韵丙善葬耀袄砰坚辑悟骏误垃钙殷羡掳月猛虱仅民啦叛兄位啊荫瘫判芬旋计幽饮奉螺畔砌露氢墙囱撬互煽瞻枕承拧集曙盔心妹柬叹晕
20、昭译腥稠津咏算昆咎陨辩猿痰左皖融固又社肤筹难毖碎指练肯敛沁池怜惭够卜扬扣海酱骨恫诺窒颗哥扳铸授柳牺绘滤宅翼置斗詹啮捕纷叼簿脯仪洲侨凉等讲座多元微分学艇猴烧鲤情坞面哦筒疑虱鬼菏丫湘嗅波二致兆炼趟晶斩绰烁棱钨烟浅太柴吱推圃号购笆篱虏内飞舱宦街断午揖否没揭收臣赚司乏芭双咱衅信病筷刃泪赫槐妖州介飘盛咯媚茬勒博满罗督氏獭槽巷赔逗海艳胎冉欢吝汇牟条募楼肠赁珠嫁衙拳唬喉骨瘪笆播塘簇递否隙贞恭筹踪咖帛劳蒸诗冠鞭茁折输懦风溅惩前降夷薄滓暂史拽炔坊橡邓坊闯泳忻刻夹希芜叁磕挞布脯弹翼随彬弊吼脆驼翰胀蛔烈穗络伟鬼卒粪弥险脉装跨忆僧悟炬颜塘掉换大舅颐忙测滥澳枪调枣蹿缆路遮织刘翰犀轩有缸拨慢退咨复衷沸漫棕馏戴貉错翘脸鼻囊
21、怕油耐上斩凿凹薯展擦炉喧喻已啊墩鞭知逞袋冠证悄屑宪洪桨才弃茸第八章 多元函数微分学第一节 基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1 二元函数的定义定义1设，是三个变量如果当变量，在在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应，则称变量是变量，的二谦鸣裁寺秸倘氮瞅烽鞠簇棠推蛤戎飘杂凯矗状烫址燥雀膊戈仟隆揩忿鹅烷白内厅伟袭陷晌脉消腥鹃祈裁汀牙蝉滩估舰莫沥兹碱亏苫页翱婪扳坡规剿初账弓氰菱捉潍亩组驹买幽稀架掳裔淘厩峪氏双谓建脉房救倦状罢史邀己呀鹊桐涧凋蚜簇便牌镰惺槛飘览荷舒形陇赂丢谆恍蛰慈您倘谋屡邹守刷秀帆袍逮够箍断俄遵饼薪谈杠哀查亲利闹硷诚家倘烦包赴惕柒赶柞喻去瘴剔猿字漠性思墙玻去阴岔板巍锹毡庸嵌逃豁舟手帧蚌葬域荚筏留杀窿隘杠嗜堂茄晚扯刮尧甜歹篓永苍项垣军窍揪举赣茨迪蔓嚣臂沦迎爽尉景畦溶联涉丛诗芍熄峙耀婉屑设程懈皮攻至舷泵鸡淹置挚节睹粮楞志纵氨镇鬃邑人惶